行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$、行列 $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$、ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ が与えられています。点 $\mathbf{a}$ をまず $A$ で変換し、次にその点を $B$ で変換した結果を $\mathbf{z}$ とします。行列の積 $BA$ を計算し、$\mathbf{z}$ を求めなさい。

## 問題3

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$、行列 $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$、ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ が与えられています。点 $\mathbf{a}$ をまず $A$ で変換し、次にその点を $B$ で変換した結果を $\mathbf{z}$ とします。行列の積 $BA$ を計算し、$\mathbf{z}$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、行列の積 $BA$ を計算します。

$BA = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot1 + 1\cdot3 & 3\cdot2 + 1\cdot4 \\ 0\cdot1 + 2\cdot3 & 0\cdot2 + 2\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$

次に、ベクトル $\mathbf{z}$ を求めます。$\mathbf{z}$ は $B(A\mathbf{a})$ で与えられます。これは $(BA)\mathbf{a}$ と同じです。

$\mathbf{z} = BA\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6x + 10y \\ 6x + 8y \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\mathbf{z} = \begin{pmatrix} 6x + 10y \\ 6x + 8y \end{pmatrix}$

## 問題4 (1)

1. 問題の内容

連立1次方程式 $\begin{cases} x+y+z+w=1 \\ x+z-w=2 \end{cases}$ を解き、解を縦ベクトルの和の形で表しなさい。

2. 解き方の手順

与えられた連立方程式を行列で表現すると、以下のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

拡大行列は以下のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -1 & | & 2 \end{pmatrix}$

2行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -2 & | & 1 \end{pmatrix}$

2行目に-1を掛けます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & | & -1 \end{pmatrix}$

1行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 & | & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & | & -1 \end{pmatrix}$

したがって、

$\begin{cases} x + z - w = 2 \\ y + 2w = -1 \end{cases}$

$z = s$, $w = t$ とおくと、

$x = 2 - s + t$

$y = -1 - 2t$

解ベクトルは以下のようになります。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - s + t \\ -1 - 2t \\ s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

（ただし、$s, t$ は任意の実数）