与えられたベクトルに関する問題が5問あります。 1. ベクトル $\vec{x}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ で表す問題が2問。 2. 長方形OABCに関するベクトルを表す問題が2問。 3. ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が成分表示されているとき、ベクトルの成分表示と大きさを求める問題が2問。 4. 4点A, B, C, Dが与えられたとき、$\vec{AB} = \vec{CD}$ が成り立つときの $x, y$ の値を求める問題。 5. ベクトル $\vec{p}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ の線形結合で表す問題。

1. 問題の内容

与えられたベクトルに関する問題が5問あります。

1. ベクトル $\vec{x}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ で表す問題が2問。

2. 長方形OABCに関するベクトルを表す問題が2問。

3. ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が成分表示されているとき、ベクトルの成分表示と大きさを求める問題が2問。

4. 4点A, B, C, Dが与えられたとき、$\vec{AB} = \vec{CD}$ が成り立つときの $x, y$ の値を求める問題。

5. ベクトル $\vec{p}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ の線形結合で表す問題。

2. 解き方の手順

1. (1) $\vec{x} - 3\vec{a} = 9\vec{b} - 2\vec{x}$ を $\vec{x}$ について解きます。

$\vec{x} + 2\vec{x} = 3\vec{a} + 9\vec{b}$

$3\vec{x} = 3\vec{a} + 9\vec{b}$

$\vec{x} = \vec{a} + 3\vec{b}$

(2) $2(\vec{x} + 2\vec{b}) = 3(\vec{x} + \vec{a})$ を $\vec{x}$ について解きます。

$2\vec{x} + 4\vec{b} = 3\vec{x} + 3\vec{a}$

$\vec{x} = 4\vec{b} - 3\vec{a}$

2. (1) $\vec{OA}$ と平行な単位ベクトルは $\frac{\vec{OA}}{|\vec{OA}|}$ であり、$|\vec{OA}| = 5$ なので、$\frac{\vec{OA}}{5}$

(2) $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$ であり、$\vec{OC}$ と平行な単位ベクトルは $\frac{\vec{OC}}{|\vec{OC}|}$ となります。

$|\vec{OC}| = \sqrt{|\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$

よって、$\frac{\vec{OC}}{|\vec{OC}|} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{13} = \frac{1}{13}\vec{OA} + \frac{1}{13}\vec{OB}$

3. (1) $\vec{a} + 3\vec{b} = (3, 1) + 3(-2, 1) = (3, 1) + (-6, 3) = (-3, 4)$

$|\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

(2) $5\vec{a} - 2(-\vec{b} + 3\vec{a}) = 5\vec{a} + 2\vec{b} - 6\vec{a} = -\vec{a} + 2\vec{b} = -(3, 1) + 2(-2, 1) = (-3, -1) + (-4, 2) = (-7, 1)$

$|-\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{(-7)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

4. $\vec{AB} = (x - 2, 1 - 3) = (x - 2, -2)$

$\vec{CD} = (0 - (-3), y - 4) = (3, y - 4)$

$\vec{AB} = \vec{CD}$ より、

$x - 2 = 3$ かつ $y - 4 = -2$

$x = 5$ かつ $y = 2$

5. $\vec{p} = m\vec{a} + n\vec{b}$ より、

$(0, 9) = m(2, 1) + n(1, -1) = (2m + n, m - n)$

$2m + n = 0$ かつ $m - n = 9$

$3m = 9$ より $m = 3$

$n = m - 9 = 3 - 9 = -6$

よって、$\vec{p} = 3\vec{a} - 6\vec{b}$

3. 最終的な答え

1. (1) $\vec{x} = \vec{a} + 3\vec{b}$

(2) $\vec{x} = 4\vec{b} - 3\vec{a}$

2. (1) $\frac{\vec{OA}}{5}$

(2) $\frac{1}{13}\vec{OA} + \frac{1}{13}\vec{OB}$

3. (1) $\vec{a} + 3\vec{b} = (-3, 4)$, $|\vec{a} + 3\vec{b}| = 5$

(2) $5\vec{a} - 2(-\vec{b} + 3\vec{a}) = (-7, 1)$, $|5\vec{a} - 2(-\vec{b} + 3\vec{a})| = 5\sqrt{2}$

4. $x = 5, y = 2$

5. $\vec{p} = 3\vec{a} - 6\vec{b}$