与えられた2次曲線の方程式は $6x^2 - 5xy - 6y^2 + 10x + 24y - 24 = 0$ です。この方程式が表す図形を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次曲線の方程式は $6x^2 - 5xy - 6y^2 + 10x + 24y - 24 = 0$ です。この方程式が表す図形を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2次形式 $6x^2 - 5xy - 6y^2$ を因数分解します。

$6x^2 - 5xy - 6y^2 = (2x - 3y)(3x + 2y)$

したがって、与えられた方程式は以下のように書き換えることができます。

$(2x - 3y)(3x + 2y) + 10x + 24y - 24 = 0$

ここで、$2x - 3y = X$ 、 $3x + 2y = Y$ と変数変換すると、

$XY + aX + bY + c = 0$ の形になることを目指します。

$x$ と $y$ を $X$ と $Y$ で表すと、以下の連立方程式を解く必要があります。

$2x - 3y = X$

$3x + 2y = Y$

この連立方程式を解くと、

$4x - 6y = 2X$

$9x + 6y = 3Y$

$13x = 2X + 3Y$

$x = \frac{2X + 3Y}{13}$

同様に、$6x - 9y = 3X$

$6x + 4y = 2Y$

$-13y = 3X - 2Y$

$y = \frac{-3X + 2Y}{13}$

したがって、与えられた方程式は次のようになります。

$XY + 10(\frac{2X+3Y}{13}) + 24(\frac{-3X+2Y}{13}) - 24 = 0$

$XY + \frac{20X+30Y}{13} + \frac{-72X+48Y}{13} - 24 = 0$

$XY + \frac{-52X+78Y}{13} - 24 = 0$

$XY - 4X + 6Y - 24 = 0$

$(X + 6)(Y - 4) = 0$

$(X + 6)(Y - 4) = XY - 4X + 6Y - 24 = 0$

$X + 6 = 2x - 3y + 6$

$Y - 4 = 3x + 2y - 4$

よって、

$(2x - 3y + 6)(3x + 2y - 4) = 0$

したがって、$2x - 3y + 6 = 0$ または $3x + 2y - 4 = 0$

$2x - 3y + 6 = 0$ と $3x + 2y - 4 = 0$ はそれぞれ直線を表します。

3. 最終的な答え

与えられた方程式は2つの直線 $2x - 3y + 6 = 0$ と $3x + 2y - 4 = 0$ を表します。