関数 $f(x) = \log(4\tan x)$ （ただし、$0 < x < \frac{\pi}{2}$）の微分を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(4\tan x)$ （ただし、$0 < x < \frac{\pi}{2}$）の微分を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法を用いる。$\log$ の微分は $\frac{1}{x}$ であることを利用し、$\tan x$ の微分が $\frac{1}{\cos^2 x}$ であることも利用する。

$f(x) = \log(4\tan x)$ を微分すると、

$f'(x) = \frac{1}{4\tan x} \cdot (4\tan x)'$

$= \frac{1}{4\tan x} \cdot 4(\tan x)'$

$= \frac{1}{\tan x} \cdot (\tan x)'$

ここで、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であるから、

$(\tan x)' = \frac{(\sin x)'\cos x - \sin x(\cos x)'}{\cos^2 x} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$

したがって、

$f'(x) = \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$

ここで、$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ より $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ であるから、

$f'(x) = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin 2x} = \frac{2}{\sin 2x}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{2}{\sin 2x}$