$\frac{1+x}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{x}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}$

## 定積分の問題

次の定積分を求めます。

(1) $\int_{1}^{4} \frac{1+x}{\sqrt{x}} dx$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan{\theta} d\theta$

(3) $\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\pi} \cos^2{2\theta} d\theta$

(4) $\int_{0}^{2} \frac{x}{(3-x)^2} dx$

(5) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{x}\cos^3{x} dx$

(6) $\int_{1}^{4} \sqrt{x} \log{x} dx$

## 解き方の手順

**(1) $\int_{1}^{4} \frac{1+x}{\sqrt{x}} dx$**

1. 被積分関数を整理します。

$\frac{1+x}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{x}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}$

2. 不定積分を計算します。

$\int (x^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}) dx = 2x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$

3. 定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} (x^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}) dx = \left[ 2x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} = \left( 2\sqrt{4} + \frac{2}{3} \sqrt{4}^3 \right) - \left( 2\sqrt{1} + \frac{2}{3} \sqrt{1}^3 \right) = \left( 4 + \frac{16}{3} \right) - \left( 2 + \frac{2}{3} \right) = 2 + \frac{14}{3} = \frac{20}{3}$

**(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan{\theta} d\theta$**

1. $\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ なので、積分を以下のように書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan{\theta} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} d\theta$

2. $u = \cos{\theta}$ と置換すると、$du = -\sin{\theta} d\theta$ となります。

積分範囲も変更します。$\theta = 0$ のとき $u = \cos{0} = 1$, $\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき $u = \cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}$

3. 置換積分を実行します。

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{-1}{u} du = -\int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{u} du = -[\ln{|u|}]_{1}^{\frac{1}{2}} = -(\ln{\frac{1}{2}} - \ln{1}) = -\ln{\frac{1}{2}} = \ln{2}$

**(3) $\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\pi} \cos^2{2\theta} d\theta$**

1. $\cos^2{x} = \frac{1+\cos{2x}}{2}$ の公式を利用します。

$\cos^2{2\theta} = \frac{1 + \cos{4\theta}}{2}$

2. 不定積分を計算します。

$\int \frac{1 + \cos{4\theta}}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int (1 + \cos{4\theta}) d\theta = \frac{1}{2} \left( \theta + \frac{1}{4}\sin{4\theta} \right) + C$

3. 定積分を計算します。

$\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\pi} \cos^2{2\theta} d\theta = \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{1}{4}\sin{4\theta} \right]_{-\frac{\pi}{6}}^{\pi} = \frac{1}{2} \left[ \left( \pi + \frac{1}{4}\sin{4\pi} \right) - \left( -\frac{\pi}{6} + \frac{1}{4}\sin{\left(-\frac{4\pi}{6}\right)} \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \pi - \left( -\frac{\pi}{6} - \frac{1}{4}\sin{\frac{2\pi}{3}} \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \pi + \frac{\pi}{6} + \frac{1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{7\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8} \right] = \frac{7\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{16}$

**(4) $\int_{0}^{2} \frac{x}{(3-x)^2} dx$**

1. $u = 3-x$ と置換すると、$x = 3-u$、$dx = -du$ となります。積分範囲も変更します。$x=0$ のとき $u=3$, $x=2$ のとき $u=1$

2. 置換積分を実行します。

$\int_{3}^{1} \frac{3-u}{u^2} (-du) = \int_{1}^{3} \frac{3-u}{u^2} du = \int_{1}^{3} \left(\frac{3}{u^2} - \frac{1}{u}\right) du$

3. 不定積分を計算します。

$\int \left(\frac{3}{u^2} - \frac{1}{u}\right) du = \int (3u^{-2} - \frac{1}{u}) du = -3u^{-1} - \ln{|u|} + C = -\frac{3}{u} - \ln{|u|} + C$

4. 定積分を計算します。

$\int_{1}^{3} \left(\frac{3}{u^2} - \frac{1}{u}\right) du = \left[ -\frac{3}{u} - \ln{|u|} \right]_{1}^{3} = \left( -\frac{3}{3} - \ln{3} \right) - \left( -\frac{3}{1} - \ln{1} \right) = (-1 - \ln{3}) - (-3 - 0) = 2 - \ln{3}$

**(5) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{x}\cos^3{x} dx$**

1. $u = \cos{x}$ と置換すると、$du = -\sin{x} dx$ となります。積分範囲も変更します。$x=0$ のとき $u = \cos{0} = 1$, $x = \frac{\pi}{2}$ のとき $u = \cos{\frac{\pi}{2}} = 0$

2. 置換積分を実行します。

$\int_{1}^{0} u^3 (-du) = -\int_{1}^{0} u^3 du = \int_{0}^{1} u^3 du$

3. 不定積分を計算します。

$\int u^3 du = \frac{1}{4} u^4 + C$

4. 定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} u^3 du = \left[ \frac{1}{4} u^4 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}(1^4 - 0^4) = \frac{1}{4}$

**(6) $\int_{1}^{4} \sqrt{x} \log{x} dx$**

1. 部分積分法を利用します。$u = \log{x}$, $dv = \sqrt{x} dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ となります。

2. 部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を適用します。

$\int_{1}^{4} \sqrt{x} \log{x} dx = \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \log{x} \right]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} dx = \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \log{x} \right]_{1}^{4} - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} dx$

3. 定積分を計算します。

$\left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \log{x} \right]_{1}^{4} - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} dx = \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \log{x} \right]_{1}^{4} - \frac{2}{3} \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} = \left( \frac{2}{3}4^{\frac{3}{2}} \log{4} - \frac{2}{3}1^{\frac{3}{2}} \log{1} \right) - \frac{2}{3} \left( \frac{2}{3}4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}1^{\frac{3}{2}} \right) = \left( \frac{2}{3} \cdot 8 \cdot 2\log{2} - 0 \right) - \frac{2}{3} \left( \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \right) = \frac{32}{3}\log{2} - \frac{2}{3}\left( \frac{14}{3} \right) = \frac{32}{3} \log{2} - \frac{28}{9}$

## 最終的な答え

(1) $\frac{20}{3}$

(2) $\ln{2}$

(3) $\frac{7\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{16}$

(4) $2 - \ln{3}$

(5) $\frac{1}{4}$

(6) $\frac{32}{3} \log{2} - \frac{28}{9}$