以下の不定積分を計算する。ただし、$t$ 以外は定数とし、積分定数を $C$ とする。 (1) $\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t} + \frac{e}{t^2}) dt$ (2) $\int a \sin(\omega t + b) dt$ (3) $\int a \cos(\omega t + b) dt$

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算する。ただし、$t$ 以外は定数とし、積分定数を $C$ とする。

(1) $\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t} + \frac{e}{t^2}) dt$

(2) $\int a \sin(\omega t + b) dt$

(3) $\int a \cos(\omega t + b) dt$

2. 解き方の手順

(1) $\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t} + \frac{e}{t^2}) dt$

各項を積分する。

$\int at^2 dt = \frac{1}{3}at^3 + C_1$

$\int bt dt = \frac{1}{2}bt^2 + C_2$

$\int c dt = ct + C_3$

$\int \frac{d}{t} dt = d \ln |t| + C_4$

$\int \frac{e}{t^2} dt = \int et^{-2} dt = -et^{-1} + C_5 = -\frac{e}{t} + C_5$

したがって、

$\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t} + \frac{e}{t^2}) dt = \frac{1}{3}at^3 + \frac{1}{2}bt^2 + ct + d \ln |t| - \frac{e}{t} + C$

ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3 + C_4 + C_5$

(2) $\int a \sin(\omega t + b) dt$

$\omega t + b = u$ と置換すると、$\omega dt = du$ より、$dt = \frac{1}{\omega} du$

$\int a \sin(\omega t + b) dt = \int a \sin(u) \frac{1}{\omega} du = \frac{a}{\omega} \int \sin(u) du = \frac{a}{\omega} (-\cos(u)) + C = -\frac{a}{\omega} \cos(\omega t + b) + C$

(3) $\int a \cos(\omega t + b) dt$

$\omega t + b = u$ と置換すると、$\omega dt = du$ より、$dt = \frac{1}{\omega} du$

$\int a \cos(\omega t + b) dt = \int a \cos(u) \frac{1}{\omega} du = \frac{a}{\omega} \int \cos(u) du = \frac{a}{\omega} (\sin(u)) + C = \frac{a}{\omega} \sin(\omega t + b) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t} + \frac{e}{t^2}) dt = \frac{1}{3}at^3 + \frac{1}{2}bt^2 + ct + d \ln |t| - \frac{e}{t} + C$

(2) $\int a \sin(\omega t + b) dt = -\frac{a}{\omega} \cos(\omega t + b) + C$

(3) $\int a \cos(\omega t + b) dt = \frac{a}{\omega} \sin(\omega t + b) + C$