与えられた関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。 具体的には、 * $f(x) = e^{2x}(-\cos x + 3\sin x)$ の導関数を求める。 * $f(x) = \tan^{-1}(1 - \frac{1}{x})$ の導関数を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

具体的には、

* $f(x) = e^{2x}(-\cos x + 3\sin x)$ の導関数を求める。

* $f(x) = \tan^{-1}(1 - \frac{1}{x})$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^{2x}(-\cos x + 3\sin x)$ の導関数

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

$u = e^{2x}$ と $v = -\cos x + 3\sin x$ とおくと、

$u' = 2e^{2x}$

$v' = \sin x + 3\cos x$

したがって、

$f'(x) = u'v + uv' = 2e^{2x}(-\cos x + 3\sin x) + e^{2x}(\sin x + 3\cos x)$

$= e^{2x}(-2\cos x + 6\sin x + \sin x + 3\cos x)$

$= e^{2x}(\cos x + 7\sin x)$

したがって、(6)は1, (7)は7。

(2) $f(x) = \tan^{-1}(1 - \frac{1}{x})$ の導関数

合成関数の微分を使います。$u = 1 - \frac{1}{x} = 1 - x^{-1}$ とおくと、$f(x) = \tan^{-1}(u)$。

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{df}{du} = \frac{1}{1 + u^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(1 - x^{-1}) = 0 - (-1)x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

したがって、

$f'(x) = \frac{1}{1 + (1 - \frac{1}{x})^2} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{1 + (1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{2 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{2x^2 - 2x + 1}$

したがって、(8)は $2x^2 - 2x + 1$

3. 最終的な答え

$f(x) = e^{2x}(-\cos x + 3\sin x)$ の導関数は、$f'(x) = (\cos x + 7\sin x)e^{2x}$

$f(x) = \tan^{-1}(1 - \frac{1}{x})$ の導関数は、$f'(x) = \frac{1}{2x^2 - 2x + 1}$