与えられた関数に対して、その導関数を求め、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数に対して、その導関数を求め、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^{2x}(-\cos x + 3\sin x)$ の導関数を求めます。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = e^{2x}, v = -\cos x + 3\sin x$ とすると、

$u' = 2e^{2x}, v' = \sin x + 3\cos x$ となります。

したがって、

$f'(x) = 2e^{2x}(-\cos x + 3\sin x) + e^{2x}(\sin x + 3\cos x) = e^{2x}(-2\cos x + 6\sin x + \sin x + 3\cos x) = e^{2x}(\cos x + 7\sin x)$

よって、空欄 (6) は 1, 空欄 (7) は 7 となります。

(2) $f(x) = \tan^{-1}(1 - \frac{1}{x})$ の導関数を求めます。合成関数の微分公式を用います。

$f(x) = \tan^{-1}(u), u = 1 - \frac{1}{x}$ とすると、

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{df}{du} = \frac{1}{1 + u^2}, \frac{du}{dx} = \frac{1}{x^2}$

したがって、

$f'(x) = \frac{1}{1 + (1 - \frac{1}{x})^2} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2(1 + (1 - \frac{1}{x})^2)} = \frac{1}{x^2(1 + 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})} = \frac{1}{x^2(2 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})} = \frac{1}{2x^2 - 2x + 1}$

よって、空欄 (8) は 1, 空欄 (9) は $2x^2 - 2x + 1$ となります。

(3) $f(x) = \sin^{-1}(x\sqrt{x})$ の導関数を求めます。合成関数の微分公式を用います。ただし、$x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}$

$f(x) = \sin^{-1}(u), u = x^{\frac{3}{2}}$ とすると、

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{df}{du} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}, \frac{du}{dx} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$

したがって、

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (x^{\frac{3}{2}})^2}} \cdot \frac{3}{2}\sqrt{x} = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{x}{1 - x^3}}$

よって、$g(x) = x, h(x) = 1-x^3$.

空欄 (10) は x, 空欄 (11) は $1-x^3$ となります。

(4) $f(x) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)$ の導関数を求めます。合成関数の微分公式を用います。

$f(x) = \cos^{-1}(u), u = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = (1+x^2)^{-1/2}$

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{df}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}, \frac{du}{dx} = -\frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}(2x) = -x(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}$

したがって、

$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{1+x^2}}} \cdot \left(-x(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\right) = \frac{x}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\sqrt{\frac{1+x^2-1}{1+x^2}}} = \frac{x}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{1+x^2}}} = \frac{x}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}} = \frac{x\sqrt{1+x^2}}{x(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{1+x^2}$

よって、空欄 (12) は $1+x^2$ となります。

3. 最終的な答え

(6): 1

(7): 7

(8): 1

(9): $2x^2 - 2x + 1$

(10): x

(11): $1-x^3$

(12): $1+x^2$