放物線 $C_1: y = 2x^2$ があり、$C_1$ 上の点 $A(1, 2)$ における $C_1$ の接線を $l$ とする。接線 $l$ の傾き、方程式を求める。次に、放物線 $C_2: y = -x^2 + ax - b$ ($a, b$ は定数) があり、$C_2$ は接線 $l$ に点 $A(1, 2)$ で接している。このとき、$a, b$ の値を求める。最後に、$0 < t < 1$ とし、$l$ と $C_2$ および2直線 $x = t$, $x = 2t + 1$ で囲まれた2つの図形の面積の和を $S(t)$ とし、$S(t)$ と $S'(t)$ を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C_1: y = 2x^2$ があり、$C_1$ 上の点 $A(1, 2)$ における $C_1$ の接線を $l$ とする。接線 $l$ の傾き、方程式を求める。次に、放物線 $C_2: y = -x^2 + ax - b$ ($a, b$ は定数) があり、$C_2$ は接線 $l$ に点 $A(1, 2)$ で接している。このとき、$a, b$ の値を求める。最後に、$0 < t < 1$ とし、$l$ と $C_2$ および2直線 $x = t$, $x = 2t + 1$ で囲まれた2つの図形の面積の和を $S(t)$ とし、$S(t)$ と $S'(t)$ を求める。

2. 解き方の手順

(ア)

$y = 2x^2$ を微分すると $y' = 4x$。点 $A(1, 2)$ における接線 $l$ の傾きは $x = 1$ を代入して $y'(1) = 4$。

(イ)

接線 $l$ の方程式は、$y - 2 = 4(x - 1)$ より、$y = 4x - 2$。

(ウ)

放物線 $C_2: y = -x^2 + ax - b$ を微分すると $y' = -2x + a$。点 $A(1, 2)$ における接線 $l$ の傾きは 4 であるから、$-2(1) + a = 4$ より $a = 6$。

(エ)

点 $A(1, 2)$ は $C_2$ 上にあるので、$2 = -1^2 + a(1) - b$。$a = 6$ を代入して $2 = -1 + 6 - b$ より $b = 3$。

以下、$a = 6$, $b = 3$ とする。

$y = 4x - 2$ と $y = -x^2 + 6x - 3$ の交点の $x$ 座標は $4x - 2 = -x^2 + 6x - 3$ より $x^2 - 2x + 1 = 0$。$(x - 1)^2 = 0$ より $x = 1$。

(オ, カ, キ, ク)

$S(t) = \int_{t}^{2t+1} | (4x - 2) - (-x^2 + 6x - 3) | dx = \int_{t}^{2t+1} | x^2 - 2x + 1 | dx = \int_{t}^{2t+1} (x - 1)^2 dx$

$S(t) = [\frac{1}{3}(x - 1)^3]_t^{2t+1} = \frac{1}{3}((2t + 1 - 1)^3 - (t - 1)^3) = \frac{1}{3}(8t^3 - (t^3 - 3t^2 + 3t - 1)) = \frac{1}{3}(7t^3 + 3t^2 - 3t + 1)$

$S(t) = \frac{7t^3 + 3t^2 - 3t + 1}{3}$

(ケ, コ, サ)

$S'(t) = \frac{1}{3}(21t^2 + 6t - 3) = 7t^2 + 2t - 1$

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: 2

ウ: 6

エ: 3

オ: 7

カ: 3

キ: 1

ク: 3

ケ: 7

コ: 2

サ: 1