三角形 ABC において、AB = 3, AC = 2, $\cos{\angle CAB} = \frac{3}{4}$ のとき、BC の長さ、$\sin{\angle CAB}$ の値、および三角形 ABC の外接円の半径を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、AB = 3, AC = 2, $\cos{\angle CAB} = \frac{3}{4}$ のとき、BC の長さ、$\sin{\angle CAB}$ の値、および三角形 ABC の外接円の半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) BC の長さを求める。

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle CAB}$

$BC^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{3}{4}$

$BC^2 = 9 + 4 - 9 = 4$

$BC = 2$

(2) $\sin{\angle CAB}$ の値を求める。

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ より、

$\sin^2{\angle CAB} = 1 - \cos^2{\angle CAB}$

$\sin^2{\angle CAB} = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\sin{\angle CAB} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

（$\angle CAB$ は三角形の内角なので $\sin{\angle CAB} > 0$）

(3) 外接円の半径 R を求める。

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin{\angle CAB}} = 2R$

$2R = \frac{2}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{8}{\sqrt{7}}$

$R = \frac{4}{\sqrt{7}} = \frac{4\sqrt{7}}{7}$

3. 最終的な答え

$BC = 2$

$\sin{\angle CAB} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$R = \frac{4\sqrt{7}}{7}$