円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=4, BC=2, DA=3, AC=4 が与えられている。線分ACと線分BDの交点をEとする。 (1) $\cos \angle ABC$ の値と、円Pの半径を求める。 (2) CDの長さと、$\cos \angle BAD$ の値を求める。 (3) BEの長さを求める。また、三角形ABEの内接円の半径を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=4, BC=2, DA=3, AC=4 が与えられている。線分ACと線分BDの交点をEとする。

(1) $\cos \angle ABC$ の値と、円Pの半径を求める。

(2) CDの長さと、$\cos \angle BAD$ の値を求める。

(3) BEの長さを求める。また、三角形ABEの内接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \angle ABC$ を求める。三角形ABCに余弦定理を用いる。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

$4^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos \angle ABC$

$16 = 16 + 4 - 16 \cos \angle ABC$

$16 \cos \angle ABC = 4$

$\cos \angle ABC = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

次に円Pの半径を求める。正弦定理を用いる。

$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R$

$\sin^2 \angle ABC + \cos^2 \angle ABC = 1$ より

$\sin^2 \angle ABC = 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\frac{4}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = 2R$

$2R = \frac{16}{\sqrt{15}}$

$R = \frac{8}{\sqrt{15}} = \frac{8\sqrt{15}}{15}$

(2) CDの長さを求める。四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC$。

$\cos \angle ADC = \cos (180^{\circ} - \angle ABC) = - \cos \angle ABC = - \frac{1}{4}$

三角形ADCに余弦定理を用いる。

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle ADC$

$4^2 = 3^2 + CD^2 - 2 \cdot 3 \cdot CD \cdot \left( - \frac{1}{4} \right)$

$16 = 9 + CD^2 + \frac{3}{2} CD$

$CD^2 + \frac{3}{2} CD - 7 = 0$

$2CD^2 + 3CD - 14 = 0$

$(2CD + 7)(CD - 2) = 0$

$CD = 2$ （CD > 0 より）

$\cos \angle BAD$ を求める。四角形ABCDは円に内接するので、$\angle BCD = 180^{\circ} - \angle BAD$。

$\cos \angle BCD = - \cos \angle BAD$

三角形BCDに余弦定理を用いる。

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos \angle BCD$

$BD^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos \angle BCD = 8 - 8 \cos \angle BCD$

三角形ABDに余弦定理を用いる。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD$

$BD^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos \angle BAD = 25 - 24 \cos \angle BAD$

$8 - 8 \cos \angle BCD = 25 - 24 \cos \angle BAD$

$8 + 8 \cos \angle BAD = 25 - 24 \cos \angle BAD$

$32 \cos \angle BAD = 17$

$\cos \angle BAD = \frac{17}{32}$

(3) BEの長さを求める。

$\angle BAC = \angle BDC$ (円周角の定理)

$\angle ABD = \angle ACD$ (円周角の定理)

$\triangle ABE \sim \triangle DCE$

$\frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD} = \frac{4}{2} = 2$

$BE = 2DE$

$\triangle BCE \sim \triangle DAE$

$\frac{BE}{AE} = \frac{BC}{AD}$

$AE = \frac{AD}{BC} BE = \frac{3}{2} BE$

$AE + EC = AC$

$\frac{3}{2} BE + DE = 4$

$BE = 2 DE$より

$\frac{3}{2} BE + \frac{1}{2} BE = 4$

$2 BE = 4$

$BE = 2$

三角形ABEの内接円の半径を求める。$AB = 4, BE = 2$。

$\angle AEB = \angle CED$, $\angle ABE = \angle CDE$.

$\angle ABE = \angle ACB = \theta$

三角形ABCにおいて、余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos \angle ABC$。

$4^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cos \angle ABC$.

$16 = 16 + 4 - 16 \cos \angle ABC$

$\cos \angle ABC = \frac{1}{4}$.

$\angle AEB = \angle CED = 180 - \angle EAB - \angle ABE$.

$AE = \frac{3}{2} BE = 3$

三角形ABEの面積をSとする。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE \sin \angle ABE = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE \sin \angle BAE = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot BE \sin \angle AEB$.

$\sin \angle ABC = \sqrt{1 - \cos^2 \angle ABC} = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

$\sin \angle ABE = \sin \angle ACB = \frac{AB}{2R} = \frac{4}{\frac{16}{\sqrt{15}}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \sin \angle ABE = 4 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \sqrt{15}$.

内接円の半径をrとすると、$S = \frac{1}{2} r (AB + BE + AE)$。

$\sqrt{15} = \frac{1}{2} r (4 + 2 + 3)$

$2 \sqrt{15} = 9r$

$r = \frac{2\sqrt{15}}{9}$.

3. 最終的な答え

(1) $\cos \angle ABC = \frac{1}{4}$, 円Pの半径 = $\frac{8\sqrt{15}}{15}$

(2) $CD = 2$, $\cos \angle BAD = \frac{17}{32}$

(3) $BE = 2$, 三角形ABEの内接円の半径 = $\frac{2\sqrt{15}}{9}$