一つ目の問題は不定積分 $\int 3 \cos^2(2x) dx$ を計算し、空欄を埋める問題です。 二つ目の問題は不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}} dx$ を計算し、空欄を埋める問題です。

はい、承知しました。問題文を解いていきます。

1. 問題の内容

一つ目の問題は不定積分 $\int 3 \cos^2(2x) dx$ を計算し、空欄を埋める問題です。

二つ目の問題は不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}} dx$ を計算し、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

一つ目の問題：

まず、$\cos^2(2x)$ を半角の公式を用いて変換します。

$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$

したがって、

$\int 3 \cos^2(2x) dx = \int 3 \cdot \frac{1 + \cos(4x)}{2} dx = \int \frac{3}{2} (1 + \cos(4x)) dx$

$= \frac{3}{2} \int (1 + \cos(4x)) dx = \frac{3}{2} (x + \frac{1}{4} \sin(4x)) + C$

$= \frac{3}{2}x + \frac{3}{8} \sin(4x) + C$

したがって、A=1, B=cos, C=2, D=3, E=8, F=sin, G=4

二つ目の問題：

まず、被積分関数の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})} = \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{(x+1)-(x-1)} = \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{2}$

したがって、

$\int \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}} dx = \int \frac{1}{2} (\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}) dx = \frac{1}{2} \int ((x+1)^{1/2} - (x-1)^{1/2}) dx$

$= \frac{1}{2} (\frac{2}{3}(x+1)^{3/2} - \frac{2}{3}(x-1)^{3/2}) + C = \frac{1}{3}((x+1)^{3/2} - (x-1)^{3/2}) + C$

したがって、A=2, B=3, C=3/2

3. 最終的な答え

一つ目の問題：

A=1

B=cos

C=2

D=3

E=8

F=sin

G=4

二つ目の問題：

A=2

B=3

C=3/2