$\sin \alpha = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求めなさい。ただし、$0^\circ < \alpha < 90^\circ$ である。

1. 問題の内容

$\sin \alpha = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求めなさい。ただし、$0^\circ < \alpha < 90^\circ$ である。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ を利用して $\cos \alpha$ を求める。

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$0^\circ < \alpha < 90^\circ$ より、$\cos \alpha > 0$ であるから、

$\cos \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

次に、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の公式を用いる。

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\frac{4}{5})^2 - (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$

3. 最終的な答え

$\sin 2\alpha = \frac{24}{25}$

$\cos 2\alpha = \frac{7}{25}$