次の不定積分を求めます。 $\int \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}} dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を計算するために、被積分関数の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}$ に $\frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}{(\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1})(\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1})}$

$(\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1})(\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}) = (x+1) - (x-1) = 2$

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}{2} = \frac{1}{2}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1})$

よって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}} dx = \int \frac{1}{2} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}) dx$

$= \frac{1}{2} \int (\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}) dx$

$= \frac{1}{2} \int ((x+1)^{1/2} - (x-1)^{1/2}) dx$

$\int (x+1)^{1/2} dx = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C$

$\int (x-1)^{1/2} dx = \frac{2}{3}(x-1)^{3/2} + C$

したがって、

$\frac{1}{2} \int ((x+1)^{1/2} - (x-1)^{1/2}) dx = \frac{1}{2} [\frac{2}{3} (x+1)^{3/2} - \frac{2}{3} (x-1)^{3/2}] + C$

$= \frac{1}{3} [(x+1)^{3/2} - (x-1)^{3/2}] + C$

$= \frac{1}{3} [\sqrt{(x+1)^3} - \sqrt{(x-1)^3}] + C$

よって、$A = 2$, $B = 3$, $C = 3$となります。

3. 最終的な答え

A: 2

B: 3

C: 3