区間 $[0, 2\pi]$ で定義された2つの関数 $f(t) = \sin t$ と $g(t) = \cos t$ の相互相関関数 $R_{fg}(\tau)$ を求め、規格化しなさい。また、$R_{fg}(\tau)$ から何がわかるか。

1. 問題の内容

区間 $[0, 2\pi]$ で定義された2つの関数 $f(t) = \sin t$ と $g(t) = \cos t$ の相互相関関数 $R_{fg}(\tau)$ を求め、規格化しなさい。また、$R_{fg}(\tau)$ から何がわかるか。

2. 解き方の手順

まず、相互相関関数 $R_{fg}(\tau)$ の定義式を記述します。

$R_{fg}(\tau) = \int_{0}^{2\pi} f(t)g(t+\tau) dt$

ここで、$f(t) = \sin t$ と $g(t) = \cos t$ を代入すると、

$R_{fg}(\tau) = \int_{0}^{2\pi} \sin t \cos(t+\tau) dt$

三角関数の加法定理を用いて、$\cos(t+\tau)$ を展開します。

$\cos(t+\tau) = \cos t \cos \tau - \sin t \sin \tau$

これを$R_{fg}(\tau)$の式に代入すると、

$R_{fg}(\tau) = \int_{0}^{2\pi} \sin t (\cos t \cos \tau - \sin t \sin \tau) dt$

$R_{fg}(\tau) = \int_{0}^{2\pi} \sin t \cos t \cos \tau dt - \int_{0}^{2\pi} \sin^2 t \sin \tau dt$

$R_{fg}(\tau) = \cos \tau \int_{0}^{2\pi} \sin t \cos t dt - \sin \tau \int_{0}^{2\pi} \sin^2 t dt$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{2\pi} \sin t \cos t dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} \sin(2t) dt = \frac{1}{2} [-\frac{1}{2} \cos(2t)]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} [-\frac{1}{2} (1 - 1)] = 0$

$\int_{0}^{2\pi} \sin^2 t dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1 - \cos(2t)}{2} dt = [\frac{t}{2} - \frac{\sin(2t)}{4}]_{0}^{2\pi} = \frac{2\pi}{2} - 0 - (0 - 0) = \pi$

したがって、$R_{fg}(\tau)$ は次のようになります。

$R_{fg}(\tau) = \cos \tau \cdot 0 - \sin \tau \cdot \pi = -\pi \sin \tau$

次に、相互相関関数を規格化します。規格化の定義が与えられていないので、ここでは最大値で割ることで規格化します。

$R_{fg}(\tau)$の最大値は$\pi$なので、$R_{fg}(\tau)$を$\pi$で割ると規格化された相互相関関数が得られます。

$\tilde{R}_{fg}(\tau) = \frac{R_{fg}(\tau)}{\pi} = \frac{-\pi \sin \tau}{\pi} = -\sin \tau$

$R_{fg}(\tau)$ からは、$f(t)$ と $g(t)$ の間の位相差がわかります。$R_{fg}(\tau) = -\pi \sin \tau$ であることより、$g(t)$ は $f(t)$ に対して位相が$\pi/2$進んでいる（つまり$g(t)$は$f(t)$を時間方向に$-\pi/2$だけシフトしたもの）という関係がわかります。

3. 最終的な答え

規格化された相互相関関数: $\tilde{R}_{fg}(\tau) = -\sin \tau$

$R_{fg}(\tau)$からは、$g(t)$は$f(t)$に対して位相が$\pi/2$進んでいることがわかる。