写真に写っている2つの定積分を計算する問題です。 最初の問題は、$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = [\log A]_{1}^{e} = B$ で、$A$と$B$を求める問題です。 2つ目の問題は、$\int_{-1}^{2} (x-1)^2 dx = \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x + 1) dx = [\frac{A}{B}x^3 - x^2 + C]_{-1}^{2} = D$ で、$A, B, C, D$を求める問題です。

## 定積分の問題

1. 問題の内容

写真に写っている2つの定積分を計算する問題です。

最初の問題は、$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = [\log A]_{1}^{e} = B$ で、$A$と$B$を求める問題です。

2つ目の問題は、$\int_{-1}^{2} (x-1)^2 dx = \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x + 1) dx = [\frac{A}{B}x^3 - x^2 + C]_{-1}^{2} = D$ で、$A, B, C, D$を求める問題です。

2. 解き方の手順

### 最初の問題

1. $\frac{1}{x}$ の原始関数は $\log |x|$ です。したがって、

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = [\log |x|]_{1}^{e}$

2. $A$ の値を求めます。$\log$の中身は$x$なので、$A=x$となり、定積分の計算より、$A=x$ であることから、$A = e$が適切である。

3. 定積分の値を計算します。

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = \log |e| - \log |1| = \log e - \log 1 = 1 - 0 = 1$

よって、$B = 1$

### 2つ目の問題

1. $(x-1)^2$ を展開します。

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

2. $x^2 - 2x + 1$ の原始関数を求めます。

$\int (x^2 - 2x + 1) dx = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x + C$

したがって、$A = 1$, $B = 3$, $C = x$

3. 定積分の値を計算します。

$\int_{-1}^{2} (x^2 - 2x + 1) dx = [\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x]_{-1}^{2}$

$= (\frac{1}{3}(2)^3 - (2)^2 + 2) - (\frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 + (-1))$

$= (\frac{8}{3} - 4 + 2) - (-\frac{1}{3} - 1 - 1) = (\frac{8}{3} - 2) - (-\frac{1}{3} - 2) = \frac{8}{3} - 2 + \frac{1}{3} + 2 = \frac{9}{3} = 3$

したがって、$D = 3$

3. 最終的な答え

最初の問題：

$A = e$（選択肢にないため、$A=e$を意味する数字は存在しない。）

$B = 1$

2つ目の問題：

$A = 1$

$B = 3$

$C = x$（選択肢にないため、$C=x$を意味する記号は存在しない。）

$D = 3$