定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \sin^2 x dx$ の値を求める問題です。$t = \sin x$ と置換積分を用いて解く手順が示されています。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \sin^2 x dx$ の値を求める問題です。$t = \sin x$ と置換積分を用いて解く手順が示されています。

2. 解き方の手順

まず、$t = \sin x$ と置くと、$\frac{dt}{dx} = \cos x$ より $\cos x dx = dt$ となります。

次に、積分範囲を $t$ で書き換えます。

$x = 0$ のとき、$t = \sin 0 = 0$。

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき、$t = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

したがって、積分範囲は $0$ から $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に変わります。

よって、$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \sin^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} t^2 dt$ となります。

$t^2$ の積分は $\frac{1}{3} t^3$ なので、

$\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} t^2 dt = \left[ \frac{1}{3} t^3 \right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^3 - \frac{1}{3} (0)^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}}{8}$

A: 0

B: 1

C: 3

D: 3

E: 3

F: 8