問題は3つの部分に分かれています。 (1) 複素数 $a = -2 + 4i$ の絶対値 $|a|$ を求めます。 (2) 点 $A(a)$ を原点を中心として $-\frac{\pi}{4}$ だけ回転した点を表す複素数を求めます。 (3) 3点 $A(-2 + 4i)$, $C(6 - i)$, $D(d + 6i)$ について、 (ア) 2直線 $AC$, $AD$ が垂直に交わるように、実数 $d$ の値を求めます。 (イ) 3点 $A$, $C$, $D$ が一直線上にあるように、実数 $d$ の値を求めます。 最後に、2つの複素数の計算問題を解きます。 (1) $(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})^7$ (2) $(\frac{1 + 4i}{3 - 5i})^{-1}$

1. 問題の内容

問題は3つの部分に分かれています。

(1) 複素数 $a = -2 + 4i$ の絶対値 $|a|$ を求めます。

(2) 点 $A(a)$ を原点を中心として $-\frac{\pi}{4}$ だけ回転した点を表す複素数を求めます。

(3) 3点 $A(-2 + 4i)$, $C(6 - i)$, $D(d + 6i)$ について、

(ア) 2直線 $AC$, $AD$ が垂直に交わるように、実数 $d$ の値を求めます。

(イ) 3点 $A$, $C$, $D$ が一直線上にあるように、実数 $d$ の値を求めます。

最後に、2つの複素数の計算問題を解きます。

(1) $(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})^7$

(2) $(\frac{1 + 4i}{3 - 5i})^{-1}$

2. 解き方の手順

(1) 複素数 $a = -2 + 4i$ の絶対値は、

$|a| = \sqrt{(-2)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

(2) 点 $A(a)$ を原点を中心として $-\frac{\pi}{4}$ だけ回転した点を表す複素数は、

$a e^{-i\frac{\pi}{4}} = (-2 + 4i) (\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4})) = (-2 + 4i) (\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2})$

$= -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 4i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 4i^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i + \sqrt{2}i + 2\sqrt{2} = \sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$

(3)

(ア) $AC$ と $AD$ が垂直である条件は、$\frac{c - a}{d - a}$ が純虚数であることです。

$c - a = (6 - i) - (-2 + 4i) = 8 - 5i$

$d - a = (d + 6i) - (-2 + 4i) = (d + 2) + 2i$

$\frac{c - a}{d - a} = \frac{8 - 5i}{(d + 2) + 2i} = \frac{(8 - 5i)((d + 2) - 2i)}{((d + 2) + 2i)((d + 2) - 2i)} = \frac{8(d + 2) - 10 - i(5(d + 2) + 16)}{(d + 2)^2 + 4}$

実部が0となる条件は、

$8(d + 2) - 10 = 0 \implies 8d + 16 - 10 = 0 \implies 8d + 6 = 0 \implies d = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$

(イ) $A$, $C$, $D$ が一直線上にある条件は、$\frac{c - a}{d - a}$ が実数であることです。

虚部が0となる条件は、

$5(d + 2) + 16 = 0 \implies 5d + 10 + 16 = 0 \implies 5d + 26 = 0 \implies d = -\frac{26}{5}$

最後に、2つの複素数の計算問題を解きます。

(1) $(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})^7 = \cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

(2) $(\frac{1 + 4i}{3 - 5i})^{-1} = \frac{3 - 5i}{1 + 4i} = \frac{(3 - 5i)(1 - 4i)}{(1 + 4i)(1 - 4i)} = \frac{3 - 12i - 5i + 20i^2}{1 + 16} = \frac{3 - 20 - 17i}{17} = \frac{-17 - 17i}{17} = -1 - i$

3. 最終的な答え

(1) $|a| = 2\sqrt{5}$

(2) $\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$

(3) (ア) $d = -\frac{3}{4}$

(イ) $d = -\frac{26}{5}$

(1) $-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

(2) $-1 - i$

問題文中の解答が間違っているようです。画像に書かれている答えは正しくありません。正しくは、

(2) $-1-i$となります。問題文中の画像には$-8+8i$とありますが、これは間違いです。