関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられたとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a, b, c$ の符号を答える。 (2) $a, c$ の値を固定し、$b$ の値のみを変化させたとき、以下のうち変わらないものをすべて選び、理由を説明する。 ① 放物線と $x$ 軸との共有点の個数 ② 放物線の頂点の $x$ 座標の符号 ③ 放物線の頂点の $y$ 座標の符号

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられたとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a, b, c$ の符号を答える。

(2) $a, c$ の値を固定し、$b$ の値のみを変化させたとき、以下のうち変わらないものをすべて選び、理由を説明する。

① 放物線と $x$ 軸との共有点の個数

② 放物線の頂点の $x$ 座標の符号

③ 放物線の頂点の $y$ 座標の符号

2. 解き方の手順

(1)

* $a$ の符号：グラフは上に凸なので、$a$ は負である。したがって、$a < 0$。

* $c$ の符号：グラフと $y$ 軸との交点の $y$ 座標は $c$ であり、グラフより $y$ 軸との交点の $y$ 座標は正である。したがって、$c > 0$。

* $b$ の符号：放物線の軸は $x = -\frac{b}{2a}$ で与えられる。グラフより、軸は $x > 0$ の範囲にある。$a < 0$ なので、$-\frac{b}{2a} > 0$ を満たすためには、$b < 0$ でなければならない。したがって、$b < 0$。

(2)

* $a, c$ を固定して $b$ のみを変化させた場合、放物線の軸の位置と頂点の $y$ 座標が変化する。

* 頂点の $x$ 座標は $x = -\frac{b}{2a}$ であり、$b$ の値に依存して変化するので、②は変わる。

* 頂点の $y$ 座標は $y = c - \frac{b^2}{4a}$ であり、$b$ の値に依存して変化するので、③も変わる。

* 放物線と $x$ 軸との共有点の個数は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ によって決まる。$b$ の値を変化させると $D$ の符号も変化するので、共有点の個数も変わる。したがって、①も変わる。

* したがって、変わらないものはない。

3. 最終的な答え

(1)

$a < 0$

$b < 0$

$c > 0$

(2) 変わらないもの：なし

理由：$b$ の値を変化させると、判別式 $D=b^2-4ac$ の符号、頂点の $x$ 座標 $x = -\frac{b}{2a}$、頂点の $y$ 座標 $y = c - \frac{b^2}{4a}$ が全て変化するため。