問題は、線形代数学に関するもので、以下の4つの問題で構成されています。 * 問題1：ベクトルの外積を計算する。 * 問題2：行列の積、行列とベクトルの積、ベクトルの転置とベクトルの積を計算する。 * 問題3：行列の積に関する証明問題。 * 問題4：同次連立一次方程式について、係数行列の階数と解を求める。

1. 問題の内容

問題は、線形代数学に関するもので、以下の4つの問題で構成されています。

* 問題1：ベクトルの外積を計算する。

* 問題2：行列の積、行列とベクトルの積、ベクトルの転置とベクトルの積を計算する。

* 問題3：行列の積に関する証明問題。

* 問題4：同次連立一次方程式について、係数行列の階数と解を求める。

2. 解き方の手順

**問題1：外積の計算**

$\vec{a} = i + j - k = (1, 1, -1)$

$\vec{b} = 2i - j - 3k = (2, -1, -3)$

外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ は次のように計算します。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & -3 \end{vmatrix} = i(1 \cdot (-3) - (-1) \cdot (-1)) - j(1 \cdot (-3) - (-1) \cdot 2) + k(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2)$

$= i(-3 - 1) - j(-3 + 2) + k(-1 - 2) = -4i + j - 3k$

**問題2：行列の計算**

(1) $AB$ の計算

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$

$AB = \begin{bmatrix} 1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 & 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 3 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 + 2 \cdot 2 & 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + 2 \cdot 3 \\ 3 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 & 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 1 \cdot 2 & 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \end{bmatrix}$

$AB = \begin{bmatrix} 3 + 4 + 3 & 2 + 6 + 6 & 1 + 4 + 9 \\ 9 - 4 + 2 & 6 - 6 + 4 & 3 - 4 + 6 \\ 9 + 6 + 1 & 6 + 9 + 2 & 3 + 6 + 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 14 & 14 \\ 7 & 4 & 5 \\ 16 & 17 & 12 \end{bmatrix}$

(2) $Ac$ の計算

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{bmatrix}$, $c = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

$Ac = \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + 2 \cdot 3 \\ 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 4 + 9 \\ 3 - 4 + 6 \\ 3 + 6 + 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 \\ 5 \\ 12 \end{bmatrix}$

(3) $d^T c$ の計算

$c = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $d = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$, $d^T = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 2 \end{bmatrix}$

$d^T c = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = (-2) \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = -2 + 6 + 6 = 10$

**問題3：証明**

$ABC = 0$ で、$B$ と $C$ が正則であるとき、$A = 0$ を証明します。

$ABC = 0$ の両辺に右から $C^{-1}$ をかけると、$ABC C^{-1} = 0 C^{-1} \Rightarrow AB = 0$ となります。

さらに、両辺に右から $B^{-1}$ をかけると、$ABB^{-1} = 0 B^{-1} \Rightarrow A = 0$ となります。

**問題4：連立一次方程式**

連立一次方程式

$2x_1 + x_2 + 3x_3 = 0$

$x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0$

$x_2 - 4x_3 = 0$

(1) 係数行列の階数を求める。

係数行列は $M = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & -4 \end{bmatrix}$ です。

行列式を計算すると、

$det(M) = 2(2 \cdot (-4) - (-3) \cdot 1) - 1(1 \cdot (-4) - (-3) \cdot 0) + 3(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) = 2(-8 + 3) - 1(-4) + 3(1) = 2(-5) + 4 + 3 = -10 + 7 = -3$

行列式が $-3 \neq 0$ なので、係数行列の階数は3です。

(2) 解を求める。

$x_2 = 4x_3$ を最初の2つの式に代入します。

$2x_1 + 4x_3 + 3x_3 = 0 \Rightarrow 2x_1 + 7x_3 = 0 \Rightarrow x_1 = -\frac{7}{2}x_3$

$x_1 + 2(4x_3) - 3x_3 = 0 \Rightarrow x_1 + 8x_3 - 3x_3 = 0 \Rightarrow x_1 + 5x_3 = 0 \Rightarrow x_1 = -5x_3$

$-\frac{7}{2}x_3 = -5x_3$ なので、 $x_3=0$

したがって$x_1 = 0, x_2 = 0, x_3 = 0$

3. 最終的な答え

問題1：$-4i + j - 3k$

問題2：

(1) $\begin{bmatrix} 10 & 14 & 14 \\ 7 & 4 & 5 \\ 16 & 17 & 12 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 14 \\ 5 \\ 12 \end{bmatrix}$

(3) $10$

問題3：証明は上記参照

問題4：

(1) 3

(2) $x_1 = 0, x_2 = 0, x_3 = 0$