対数方程式 $\log_3(2x-1) + \log_3(x+3) = 2$ を解きます。

## (3) の問題

1. 問題の内容

対数方程式 $\log_3(2x-1) + \log_3(x+3) = 2$ を解きます。

2. 解き方の手順

* 対数の性質を用いて、左辺をまとめます。 $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$ を用いると、

$$\log_3(2x-1) + \log_3(x+3) = \log_3((2x-1)(x+3))$$

したがって、与えられた方程式は

$$\log_3((2x-1)(x+3)) = 2$$

となります。

* 対数の定義から、$y = \log_a(x)$ ならば $x = a^y$ であることを利用して、対数を外します。

$$(2x-1)(x+3) = 3^2 = 9$$

* 展開して整理します。

$$2x^2 + 6x - x - 3 = 9$$

$$2x^2 + 5x - 12 = 0$$

* 二次方程式を解きます。因数分解すると

$$(2x-3)(x+4) = 0$$

よって、$x = \frac{3}{2}$ または $x = -4$

* 対数の中身が正である条件を確認します。$\log_3(2x-1)$ が存在するためには、$2x-1 > 0$ すなわち $x > \frac{1}{2}$ である必要があります。また、$\log_3(x+3)$ が存在するためには、$x+3 > 0$ すなわち $x > -3$ である必要があります。したがって、$x > \frac{1}{2}$ を満たす必要があります。

* $x = \frac{3}{2}$ は $x > \frac{1}{2}$ を満たしますが、$x = -4$ は満たしません。

3. 最終的な答え

$x = \frac{3}{2}$

## (4) の問題

1. 問題の内容

対数不等式 $\log_2(x-1) \geq \log_4(5x-9)$ を解きます。

2. 解き方の手順

* 対数の底を揃えるために、底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用います。$\log_4(5x-9) = \frac{\log_2(5x-9)}{\log_2 4} = \frac{\log_2(5x-9)}{2}$ となります。したがって、与えられた不等式は

$$\log_2(x-1) \geq \frac{1}{2} \log_2(5x-9)$$

となります。

* 両辺に 2 をかけます。

$$2\log_2(x-1) \geq \log_2(5x-9)$$

* 対数の性質を用いて、左辺をまとめます。 $n \log_a(b) = \log_a(b^n)$ を用いると、

$$\log_2((x-1)^2) \geq \log_2(5x-9)$$

* 対数の単調増加性から、真数部分の大小関係を比較することができます。

$$(x-1)^2 \geq 5x-9$$

* 展開して整理します。

$$x^2 - 2x + 1 \geq 5x - 9$$

$$x^2 - 7x + 10 \geq 0$$

* 二次不等式を解きます。因数分解すると

$$(x-2)(x-5) \geq 0$$

したがって、$x \leq 2$ または $x \geq 5$

* 対数の中身が正である条件を確認します。$\log_2(x-1)$ が存在するためには、$x-1 > 0$ すなわち $x > 1$ である必要があります。また、$\log_4(5x-9)$ が存在するためには、$5x-9 > 0$ すなわち $x > \frac{9}{5} = 1.8$ である必要があります。したがって、$x > \frac{9}{5}$ を満たす必要があります。

* $x \leq 2$ と $x > \frac{9}{5}$ を満たす範囲は、$\frac{9}{5} < x \leq 2$ です。

* $x \geq 5$ と $x > \frac{9}{5}$ を満たす範囲は、$x \geq 5$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{9}{5} < x \leq 2$ または $x \geq 5$