実数 $x, y$ が $\frac{i}{1+xi} + \frac{x+2}{y+i} = 0$ を満たすとき、$x$ と $y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が $\frac{i}{1+xi} + \frac{x+2}{y+i} = 0$ を満たすとき、$x$ と $y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$\frac{i}{1+xi} + \frac{x+2}{y+i} = 0$

$\frac{i(1-xi)}{(1+xi)(1-xi)} + \frac{(x+2)(y-i)}{(y+i)(y-i)} = 0$

$\frac{i+x}{1+x^2} + \frac{(x+2)y - (x+2)i}{y^2+1} = 0$

実部と虚部に分けて考えます。

$\frac{x}{1+x^2} + \frac{(x+2)y}{y^2+1} = 0$

$\frac{1}{1+x^2} - \frac{x+2}{y^2+1} = 0$

この2つの式を連立させて解きます。

$\frac{1}{1+x^2} = \frac{x+2}{y^2+1}$ より $y^2+1 = (x+2)(1+x^2)$

$y^2 + 1 = x + x^3 + 2 + 2x^2$

$y^2 = x^3 + 2x^2 + x + 1$

$\frac{x}{1+x^2} + \frac{(x+2)y}{y^2+1} = 0$ より $\frac{x}{1+x^2} = - \frac{(x+2)y}{y^2+1}$

$\frac{x}{1+x^2} = - \frac{(x+2)y}{x^3 + 2x^2 + x + 2}$

$x(x^3 + 2x^2 + x + 2) = -(x+2)y(1+x^2)$

$x(x^2+1)(x+2) = -(x+2)y(1+x^2)$

$x(x+2)(x^2+1) + (x+2)y(x^2+1) = 0$

$(x+2)(x^2+1)(x+y) = 0$

ここで、$x$と$y$は実数なので、$x^2+1 \neq 0$。

したがって、$x+2 = 0$ または $x+y=0$

もし$x = -2$ならば、 $y^2+1 = 0$となるため、$y$は実数とならない。

よって、$x+y = 0$, $y = -x$

$\frac{1}{1+x^2} = \frac{x+2}{y^2+1} = \frac{x+2}{x^2+1}$

$1 = x+2$, $x = -1$

したがって $y = -x = 1$

3. 最終的な答え

$x = -1, y = 1$