複素数の計算問題です。 (1) $(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})^7$ を計算する。 (2) $\frac{(1+4i)^2}{3-5i}$ を計算する。

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。

(1) $(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})^7$ を計算する。

(2) $\frac{(1+4i)^2}{3-5i}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) ド・モアブルの定理を使います。 $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta$

$(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})^7 = \cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6}$

$\frac{7\pi}{6}$ は第3象限の角であり、$\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$ なので、

$\cos \frac{7\pi}{6} = - \cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \frac{7\pi}{6} = - \sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

(2) 分母を実数化するために、分母の複素共役を分子と分母にかけます。

$\frac{(1+4i)^2}{3-5i} = \frac{1 + 8i - 16}{3-5i} = \frac{-15 + 8i}{3-5i} = \frac{(-15 + 8i)(3+5i)}{(3-5i)(3+5i)} = \frac{-45 -75i + 24i - 40}{9+25} = \frac{-85 - 51i}{34} = \frac{-5(17 + \frac{51}{5}i)}{34} = \frac{-5(17+\frac{51}{5} i)}{34}$

$= \frac{-85-51i}{34} = \frac{-5(17+\frac{51}{5} i)}{34}$

\frac{(-15+8i)(3+5i)}{3^2+5^2} = \frac{-45 - 75i + 24i - 40}{9+25} = \frac{-85 - 51i}{34} = \frac{-5(17+\frac{51}{5} i)}{2\times 17} = \frac{-5 - \frac{3}{10}i }

$\frac{-15 + 8i}{3-5i} = \frac{(-15 + 8i)(3+5i)}{(3-5i)(3+5i)} = \frac{-45 - 75i + 24i - 40}{9+25} = \frac{-85 - 51i}{34} = -\frac{85}{34} - \frac{51}{34}i = -\frac{5}{2} - \frac{3}{2}i$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

(2) $-\frac{5}{2} - \frac{3}{2}i$