複素数 $\alpha = -2 + 4i$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $|\alpha|$ を求める。 (2) 点 $A(\alpha)$ を原点を中心として $-\frac{\pi}{4}$ だけ回転した点を表す複素数を求める。 (3) 3点 $A(-2+4i)$, $C(6-i)$, $D(d+6i)$ について、 (ア) 2直線 $AC$, $AD$ が垂直に交わるように、実数 $d$ の値を求める。 (イ) 3点 $A, C, D$ が一直線上にあるように、実数 $d$ の値を求める。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = -2 + 4i$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $|\alpha|$ を求める。

(2) 点 $A(\alpha)$ を原点を中心として $-\frac{\pi}{4}$ だけ回転した点を表す複素数を求める。

(3) 3点 $A(-2+4i)$, $C(6-i)$, $D(d+6i)$ について、

(ア) 2直線 $AC$, $AD$ が垂直に交わるように、実数 $d$ の値を求める。

(イ) 3点 $A, C, D$ が一直線上にあるように、実数 $d$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $|\alpha|$ は複素数 $\alpha$ の絶対値（または大きさ）であり、$\alpha = a + bi$ のとき $|\alpha| = \sqrt{a^2 + b^2}$ で計算できます。$\alpha = -2 + 4i$ なので、 $|\alpha| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2}$ となります。

(2) 複素数 $\alpha$ を原点を中心に $\theta$ 回転させることは、$\alpha$ に $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ を掛けることに相当します。今回は $\theta = -\frac{\pi}{4}$ なので、$\cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ および $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ を用いて計算します。

(3)(ア) 2直線 $AC$ と $AD$ が垂直に交わる条件は、$\frac{D-A}{C-A}$ が純虚数になることです。つまり、$\frac{(d+6i) - (-2+4i)}{(6-i) - (-2+4i)} = \frac{(d+2) + 2i}{8-5i}$ が純虚数になるように $d$ を求めます。複素数を分母に含む場合は、分母の複素共役を分子分母に掛けて計算を進めます。

(イ) 3点 $A, C, D$ が一直線上にある条件は、$\frac{D-A}{C-A}$ が実数になることです。$\frac{(d+6i) - (-2+4i)}{(6-i) - (-2+4i)} = \frac{(d+2) + 2i}{8-5i}$ が実数になるように $d$ を求めます。複素数を分母に含む場合は、分母の複素共役を分子分母に掛けて計算を進めます。

(1)

$|\alpha| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

(2)

回転後の複素数は

$\alpha e^{-i\frac{\pi}{4}} = (-2+4i)(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})) = (-2+4i)(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = (-2+4i)\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i) = \sqrt{2}(-1+2i)(1-i) = \sqrt{2}(-1+i+2i-2i^2) = \sqrt{2}(-1+3i+2) = \sqrt{2}(1+3i) = \sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$

(3)(ア)

$\frac{D-A}{C-A} = \frac{(d+2) + 2i}{8-5i} = \frac{((d+2) + 2i)(8+5i)}{(8-5i)(8+5i)} = \frac{8(d+2) + 5i(d+2) + 16i - 10}{64 + 25} = \frac{8d+16-10 + (5d+10+16)i}{89} = \frac{8d+6}{89} + \frac{5d+26}{89}i$

これが純虚数になるためには、実部が0になれば良いので、

$8d+6 = 0$

$d = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$

(3)(イ)

$\frac{D-A}{C-A} = \frac{8d+6}{89} + \frac{5d+26}{89}i$

これが実数になるためには、虚部が0になれば良いので、

$5d+26 = 0$

$d = -\frac{26}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $|\alpha| = 2\sqrt{5}$

(2) $\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$

(3)(ア) $d = -\frac{3}{4}$

(3)(イ) $d = -\frac{26}{5}$