与えられた2つの式について、分母を有理化し、空欄にあてはまる記号を選択する問題です。 (1) $\frac{10}{\sqrt{5}}$ の分母を有理化します。 (2) $\frac{3\sqrt{3}+5}{3\sqrt{3}-5}$ の分母を有理化します。 選択肢は以下の通りです。 ア. $\frac{\sqrt{5}}{5}$ イ. $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ウ. $2\sqrt{5}$ エ. $1$ オ. $26-15\sqrt{3}$ カ. $26+15\sqrt{3}$

1. 問題の内容

与えられた2つの式について、分母を有理化し、空欄にあてはまる記号を選択する問題です。

(1) $\frac{10}{\sqrt{5}}$ の分母を有理化します。

(2) $\frac{3\sqrt{3}+5}{3\sqrt{3}-5}$ の分母を有理化します。

選択肢は以下の通りです。

ア. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

イ. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

ウ. $2\sqrt{5}$

エ. $1$

オ. $26-15\sqrt{3}$

カ. $26+15\sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{10}{\sqrt{5}}$ の分母を有理化します。

分母と分子に $\sqrt{5}$ をかけます。

$\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$

したがって、解答番号13はウです。

(2) $\frac{3\sqrt{3}+5}{3\sqrt{3}-5}$ の分母を有理化します。

分母の共役な複素数 $3\sqrt{3}+5$ を分母と分子にかけます。

$\frac{3\sqrt{3}+5}{3\sqrt{3}-5} = \frac{(3\sqrt{3}+5) \times (3\sqrt{3}+5)}{(3\sqrt{3}-5) \times (3\sqrt{3}+5)} = \frac{(3\sqrt{3}+5)^2}{(3\sqrt{3})^2 - 5^2}$

分子を展開します。

$(3\sqrt{3}+5)^2 = (3\sqrt{3})^2 + 2(3\sqrt{3})(5) + 5^2 = 27 + 30\sqrt{3} + 25 = 52 + 30\sqrt{3}$

分母を展開します。

$(3\sqrt{3})^2 - 5^2 = 27 - 25 = 2$

したがって、

$\frac{52+30\sqrt{3}}{2} = 26 + 15\sqrt{3}$

したがって、解答番号14はカです。

3. 最終的な答え

13: ウ

14: カ