0, 1, 2, 3, 4 の5つの数字から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作る。以下の数を求めよ。 (1) 異なる整数 (2) 偶数 (3) 3の倍数

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4 の5つの数字から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作る。以下の数を求めよ。

(1) 異なる整数

(2) 偶数

(3) 3の倍数

2. 解き方の手順

(1) 異なる整数

3桁の整数を作るので、百の位は0以外。

百の位の選び方は4通り。

十の位の選び方は、百の位で使った数字以外から選ぶので4通り。

一の位の選び方は、百の位と十の位で使った数字以外から選ぶので3通り。

よって、異なる整数の個数は

$4 \times 4 \times 3 = 48$

(2) 偶数

一の位が0, 2, 4のいずれかの場合に偶数となる。

(i) 一の位が0の場合

百の位の選び方は4通り（1, 2, 3, 4）。

十の位の選び方は、百の位で使った数字と0以外から選ぶので3通り。

よって、この場合は$4 \times 3 = 12$通り。

(ii) 一の位が2または4の場合

一の位の選び方は2通り。

百の位の選び方は、0と一の位で使った数字以外から選ぶので3通り。

十の位の選び方は、百の位と一の位で使った数字以外から選ぶので3通り。

よって、この場合は$2 \times 3 \times 3 = 18$通り。

したがって、偶数の個数は$12 + 18 = 30$

(3) 3の倍数

3の倍数の判定法は、各位の数の和が3の倍数であること。

0, 1, 2, 3, 4の中から3つの数字を選んで和が3の倍数になる組み合わせは以下の通り。

(0, 1, 2) : 120, 102, 210, 201, 12, 21 $\rightarrow$ 4個 (0が百の位に来るパターンを除く)

(0, 2, 4) : 240, 204, 420, 402, 24, 42 $\rightarrow$ 4個

(0, 3, 3) : ない

(1, 2, 3) : 123, 132, 213, 231, 312, 321 $\rightarrow$ 6個

(1, 2, 3) : 123, 132, 213, 231, 312, 321 $\rightarrow$ 6個

(1, 3, 4) : 134, 143, 314, 341, 413, 431 $\rightarrow$ 6個

(2, 3, 4) : 234, 243, 324, 342, 423, 432 $\rightarrow$ 6個

よって、3の倍数の個数は$4 + 4 + 6 + 6 + 6 = 30$

3. 最終的な答え

(1) 48個

(2) 30個

(3) 30個