$\sqrt{9 + 2\sqrt{20}}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{9 + 2\sqrt{20}}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを考えます。

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ という式を利用します。

$9 + 2\sqrt{20}$ を $a + b + 2\sqrt{ab}$ の形に変形できるか考えます。

$a + b = 9$ かつ $ab = 20$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a=5$、 $b=4$ とすると、$5+4=9$ かつ $5\times4 = 20$ となり、条件を満たします。

したがって、

$\sqrt{9 + 2\sqrt{20}} = \sqrt{5 + 4 + 2\sqrt{5 \times 4}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{4})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{4}$

$\sqrt{4} = 2$ より

$\sqrt{5} + \sqrt{4} = \sqrt{5} + 2$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5} + 2$