与えられた数式を計算して、その値を求めます。数式は以下の通りです。 $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2 + \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}}$

1. 問題の内容

与えられた数式を計算して、その値を求めます。数式は以下の通りです。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2 + \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}}$

2. 解き方の手順

まず、分母の根号の中にある $4 + 2\sqrt{3}$ を簡略化します。

$4 + 2\sqrt{3} = 1 + 3 + 2\sqrt{1 \cdot 3} = (1 + \sqrt{3})^2$ と変形できます。

したがって、$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(1+\sqrt{3})^2} = 1 + \sqrt{3}$ となります。

次に、分母の根号の中にある $2 + \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$ を計算します。

$2 + \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = 2 + (1 + \sqrt{3}) = 3 + \sqrt{3}$ となります。

したがって、分母は $\sqrt{3 + \sqrt{3}}$ となります。

元の式は $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3 + \sqrt{3}}}$ です。

ここで、分母と分子に $\sqrt{2}$ を掛けてみます。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3 + \sqrt{3}}} = \frac{(\sqrt{3} - 1)\sqrt{2}}{\sqrt{2(3 + \sqrt{3})}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6 + 2\sqrt{3}}}$

分母の根号の中にある $6 + 2\sqrt{3}$ を簡略化することを試みます。

$6 + 2\sqrt{3} = 3 + 3 + 2\sqrt{3}$

しかし、このままではこれ以上簡単になりそうにありません。

別の方法として、分母の二重根号を外すことを考えます。

$\sqrt{2 + \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}} = \sqrt{2 + \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}} = \sqrt{2 + \sqrt{3} + 1} = \sqrt{3 + \sqrt{3}}$

このままでは二重根号を外せません。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3 + \sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{(3 + \sqrt{3})^{1/2}}$

この問題は、多分どこかで間違えているか、またはこれ以上簡単にできない可能性があります。

しかし、問題文の数式が正しいと仮定すると、これが最終的な答えとなります。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3 + \sqrt{3}}}$