(9) 自然数の集合 $\{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$ において、 $1$ から $5$ までの自然数、 $2$ から $6$ までの自然数、 $3$ から $7$ までの自然数、 $4$ から $8$ までの自然数、 $5$ から $9$ までの自然数、 というように作られる自然数の集合の中で、最小の数を求めなさい。 (10) 自然数の集合 $\{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$ において、 $1$ から $7$ までの自然数、 $2$ から $8$ までの自然数、 $3$ から $9$ までの自然数、 $4$ から $10$ までの自然数、 $5$ から $11$ までの自然数、 というように作られる自然数の集合のうち、150以下の数の個数を求めなさい。

1. 問題の内容

(9) 自然数の集合 $\{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$ において、

$1$ から $5$ までの自然数、

$2$ から $6$ までの自然数、

$3$ から $7$ までの自然数、

$4$ から $8$ までの自然数、

$5$ から $9$ までの自然数、

というように作られる自然数の集合の中で、最小の数を求めなさい。

(10) 自然数の集合 $\{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$ において、

$1$ から $7$ までの自然数、

$2$ から $8$ までの自然数、

$3$ から $9$ までの自然数、

$4$ から $10$ までの自然数、

$5$ から $11$ までの自然数、

というように作られる自然数の集合のうち、150以下の数の個数を求めなさい。

2. 解き方の手順

(9)

この自然数の集合は、$1$ から $5$ までの自然数の集合 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$, $2$ から $6$ までの自然数の集合 $\{2, 3, 4, 5, 6\}$, $3$ から $7$ までの自然数の集合 $\{3, 4, 5, 6, 7\}$ などのように構成されています。

これらの集合に含まれる数をすべて集めたものが、問題文で与えられた自然数の集合です。

明らかに、この集合には $1$ が含まれるので、最小の数は $1$ です。

(10)

一般に、$n$ から $n+6$ までの自然数の集合は、$\{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6\}$ となります。

この集合の要素は$7$個です。

この自然数の集合のうち、150以下の数を探します。

$n+6 \le 150$ を満たす最大の $n$ を求めます。

$n \le 150 - 6 = 144$ です。

したがって、$n$ は $1$ から $144$ までの自然数を取りえます。

$n=1$ のとき、$1$ から $7$ までの自然数。

$n=2$ のとき、$2$ から $8$ までの自然数。

$n=144$ のとき、$144$ から $150$ までの自然数。

したがって、$1$ から $144$ までのそれぞれの $n$ に対して、$n$ から $n+6$ までの自然数の集合が作られます。

$1$ から $144$ までの整数の個数は $144$ です。

したがって、150以下の数の個数は144個です。

3. 最終的な答え

(9) 1

(10) 144 個