$\sqrt{9+2\sqrt{20}}$ を計算して簡単にしてください。

1. 問題の内容

$\sqrt{9+2\sqrt{20}}$ を計算して簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ の形に変形することを考えます。

$\sqrt{20}$ の中を $4 \times 5$ と分解すると $\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$ となります。

元の式は $\sqrt{9+2\sqrt{20}}$ なので、$\sqrt{9+2\sqrt{4 \times 5}}$ と書き換えることができます。

$9$ を $4 + 5$ と分解すると、$\sqrt{4+5+2\sqrt{4 \times 5}}$ となります。

これは $\sqrt{(\sqrt{4} + \sqrt{5})^2}$ と書き換えられます。

$\sqrt{(\sqrt{4} + \sqrt{5})^2} = \sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} = 2+\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$2+\sqrt{5}$