6枚のカードがあり、片面は白色、もう片面は黒色である。白い面を表にして横一列に並べ、サイコロを投げて出た目の数のカードを裏返す、という試行を4回行う。黒色の面が表になっているカードの枚数をXとする。 (1) X=4となる確率を求める。 (2) X=0となる確率を求める。 (3) X=2となる確率を求め、X=2であったとき、2回目の試行の後で黒色の面が表であるカードがちょうど2枚である条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

6枚のカードがあり、片面は白色、もう片面は黒色である。白い面を表にして横一列に並べ、サイコロを投げて出た目の数のカードを裏返す、という試行を4回行う。黒色の面が表になっているカードの枚数をXとする。

(1) X=4となる確率を求める。

(2) X=0となる確率を求める。

(3) X=2となる確率を求め、X=2であったとき、2回目の試行の後で黒色の面が表であるカードがちょうど2枚である条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) X=4となる確率

4回の試行で異なるカードを裏返せば良い。

4回のサイコロの目が全て異なれば良いので、

$P(X=4) = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{6^4} = \frac{360}{1296} = \frac{5}{18}$

(2) X=0となる確率

4回の試行で同じカードを偶数回裏返せば良い。

4回とも同じ目が出る場合：6通り

2回同じ目が2回出る場合：${}_4C_2$で組み合わせが決まり、同じ目が出るカードの選び方は${}_6C_2$通りなので、$6 \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{6 \times 5}{2} = 6 \times 6 \times 15 = 540$

したがって

$P(X=0) = \frac{6 + 540}{6^4} = \frac{546}{1296} = \frac{91}{216}$

(3) X=2となる確率

4回の試行後、黒い面が2枚となる場合を考える。

(i) 2枚のカードをそれぞれ2回ずつ裏返す場合：

カードの選び方は${}_6C_2$通り、4回の目の出方は$\frac{4!}{2!2!} = 6$通り。$15 \times 6 = 90$

(ii) 1枚のカードを4回裏返す場合：カードの選び方は6通り。

(iii) 1枚のカードを3回裏返し、別の1枚のカードを1回裏返す場合：

カードの選び方は$6 \times 5 = 30$通り、4回の目の出方は$\frac{4!}{3!} = 4$通り。$30 \times 4 = 120$

(iv) 1枚のカードを2回裏返し、別の2枚のカードをそれぞれ1回裏返す場合：

カードの選び方は$6 \times {}_5C_2 = 6 \times 10 = 60$通り、4回の目の出方は$\frac{4!}{2!} = 12$通り。$60 \times 12 = 720$

(v) 異なる4枚のカードのうち、2枚のカードをそれぞれ1回ずつ裏返す場合、残りの2枚のカードの目は同じである場合：

カードの選び方は${}_6C_4 = 15$通り、$15 \times 1 = 15$

(vi) 2枚のカードをそれぞれ1回ずつ裏返す場合、残りの2回の試行で同じカードを裏返す：

カードの選び方は${}_6C_2 = 15$通り、サイコロの目の出方は1通り、$15 \times 1 = 15$

合計は

$90 + 6 + 120 + \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{2!} = 90 + 6 + 120 + 360/2 = 216 + 180= 396$

カードの選び方は6通りで目の出方が1通り

$90+6+120+720 = 936$

$P(X=2) = \frac{630}{6^4} = \frac{35}{72}$

2回目の試行後、黒色の面が表であるカードがちょうど2枚である条件付き確率を求める。

3. 最終的な答え

(1) $P(X=4) = \frac{5}{18}$

(2) $P(X=0) = \frac{91}{216}$

(3) $P(X=2) = \frac{35}{72}$