座標平面上に2点 $A(-2, 4)$, $B(4, 2)$ と2つの直線 $l: x+y=1$, $m: x-y=3$ が与えられている。 (1) 点 $P$ が直線 $l$ 上を動くとき、$AP+PB$ が最小となる $P$ の座標を求めよ。 (2) 点 $P$ が直線 $l$ 上を、点 $Q$ が直線 $m$ 上をそれぞれ動くとき、$AP+PQ+QB$ が最小となる $P, Q$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に2点 $A(-2, 4)$, $B(4, 2)$ と2つの直線 $l: x+y=1$, $m: x-y=3$ が与えられている。

(1) 点 $P$ が直線 $l$ 上を動くとき、$AP+PB$ が最小となる $P$ の座標を求めよ。

(2) 点 $P$ が直線 $l$ 上を、点 $Q$ が直線 $m$ 上をそれぞれ動くとき、$AP+PQ+QB$ が最小となる $P, Q$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点 $A$ の直線 $l: x+y=1$ に関する対称点を $A'(a, b)$ とする。

$AA'$ と $l$ が直交することから、直線 $AA'$ の傾きは1となるので、

$\frac{b-4}{a+2}=1$

$b-4=a+2$

$a-b=-6$ (1)

また、線分 $AA'$ の中点が $l$ 上にあるので、

$\frac{a-2}{2} + \frac{b+4}{2} = 1$

$a-2+b+4=2$

$a+b = 0$ (2)

(1) + (2) より、

$2a=-6$

$a=-3$

$b=3$

よって、$A'(-3, 3)$

$AP+PB$ が最小となるのは、$P$ が直線 $A'B$ と直線 $l$ の交点となるときである。

直線 $A'B$ の方程式は、傾きが$\frac{2-3}{4-(-3)}=-\frac{1}{7}$で、点 $B(4, 2)$ を通るので、

$y-2=-\frac{1}{7}(x-4)$

$7(y-2)=-(x-4)$

$7y-14=-x+4$

$x+7y=18$

$x+y=1$ より $x=1-y$ を代入すると

$1-y+7y=18$

$6y=17$

$y=\frac{17}{6}$

$x=1-\frac{17}{6}=-\frac{11}{6}$

よって、$P(-\frac{11}{6}, \frac{17}{6})$

(2)

点 $A$ の直線 $l: x+y=1$ に関する対称点を $A'(-3, 3)$ とする。（(1)より）

点 $B$ の直線 $m: x-y=3$ に関する対称点を $B'(c, d)$ とする。

$BB'$ と $m$ が直交することから、直線 $BB'$ の傾きは-1となるので、

$\frac{d-2}{c-4}=-1$

$d-2=-c+4$

$c+d=6$ (3)

また、線分 $BB'$ の中点が $m$ 上にあるので、

$\frac{c+4}{2} - \frac{d+2}{2} = 3$

$c+4-d-2=6$

$c-d=4$ (4)

(3) + (4) より、

$2c=10$

$c=5$

$d=1$

よって、$B'(5, 1)$

$AP+PQ+QB$ が最小となるのは、$P$ が直線 $A'Q$ と直線 $l$ の交点、$Q$ が直線 $A'B'$ と直線 $m$ の交点となるときである。

直線 $A'B'$ の方程式は、傾きが $\frac{1-3}{5-(-3)}=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}$ で、点 $B'(5, 1)$ を通るので、

$y-1=-\frac{1}{4}(x-5)$

$4(y-1)=-(x-5)$

$4y-4=-x+5$

$x+4y=9$

$Q$ は $x+4y=9$ と $x-y=3$ の交点である。

$x=y+3$ より $y+3+4y=9$

$5y=6$

$y=\frac{6}{5}$

$x=\frac{6}{5}+3=\frac{21}{5}$

よって、$Q(\frac{21}{5}, \frac{6}{5})$

$P$ は $x+4y=9$ と $x+y=1$ の交点である。

$x=1-y$ より $1-y+4y=9$

$3y=8$

$y=\frac{8}{3}$

$x=1-\frac{8}{3}=-\frac{5}{3}$

よって、$P(-\frac{5}{3}, \frac{8}{3})$

3. 最終的な答え

(1) $P(-\frac{11}{6}, \frac{17}{6})$

(2) $P(-\frac{5}{3}, \frac{8}{3})$, $Q(\frac{21}{5}, \frac{6}{5})$