ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とする。次のそれぞれの場合について、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。 (1) $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$, $\theta = 45^{\circ}$ (2) $\vec{a} = (2, -3)$, $\vec{b} = (-4, 6)$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とする。次のそれぞれの場合について、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。

(1) $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$, $\theta = 45^{\circ}$

(2) $\vec{a} = (2, -3)$, $\vec{b} = (-4, 6)$

2. 解き方の手順

(1) 内積の定義式 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}$ を利用する。

$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$, $\theta = 45^{\circ}$ を代入すると、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 \cdot \cos{45^{\circ}}$

$\cos{45^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であるから、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

(2) $\vec{a} = (a_1, a_2)$, $\vec{b} = (b_1, b_2)$ のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$ である。

$\vec{a} = (2, -3)$, $\vec{b} = (-4, 6)$ より、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-4) + (-3) \cdot 6 = -8 - 18 = -26$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}$

(2) -26