2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、これらのベクトルがなす角 $\theta$ ($0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$) を求めます。問題は2つあります。 (1) $\vec{a} = (2, 1)$, $\vec{b} = (2, 6)$ (2) $\vec{a} = (2\sqrt{3}, -2)$, $\vec{b} = (-1, \sqrt{3})$

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、これらのベクトルがなす角 $\theta$ ($0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$) を求めます。問題は2つあります。

(1) $\vec{a} = (2, 1)$, $\vec{b} = (2, 6)$

(2) $\vec{a} = (2\sqrt{3}, -2)$, $\vec{b} = (-1, \sqrt{3})$

2. 解き方の手順

2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ は、内積を用いて求めることができます。内積の定義は以下の通りです。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$

したがって、

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

$\theta = \arccos{\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}}$

(1) の場合：

$\vec{a} = (2, 1)$, $\vec{b} = (2, 6)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(2) + (1)(6) = 4 + 6 = 10$

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

$\cos{\theta} = \frac{10}{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{10}{2\sqrt{50}} = \frac{10}{2 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta = \arccos{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 45^\circ$

(2) の場合：

$\vec{a} = (2\sqrt{3}, -2)$, $\vec{b} = (-1, \sqrt{3})$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\sqrt{3})(-1) + (-2)(\sqrt{3}) = -2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$

$|\vec{a}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\cos{\theta} = \frac{-4\sqrt{3}}{4 \cdot 2} = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta = \arccos{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = 150^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 45^\circ$

(2) $\theta = 150^\circ$