与えられた条件を満たす三角形の面積 $S$ を求める問題です。 (1) 三角形OABにおいて、$|OA|=4$, $|OB|=5$, $OA \cdot OB = 8$ のとき、面積 $S$ を求めます。 (2) 3点 A(0, -1), B(2, 5), C(-1, 1) を頂点とする三角形ABCの面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす三角形の面積 $S$ を求める問題です。

(1) 三角形OABにおいて、$|OA|=4$, $|OB|=5$, $OA \cdot OB = 8$ のとき、面積 $S$ を求めます。

(2) 3点 A(0, -1), B(2, 5), C(-1, 1) を頂点とする三角形ABCの面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

三角形の面積の公式 $S = \frac{1}{2} |OA| |OB| \sin \theta$ を利用します。

ここで、$OA \cdot OB = |OA| |OB| \cos \theta$ であるから、$\cos \theta = \frac{OA \cdot OB}{|OA| |OB|}$ となります。

$\cos \theta = \frac{8}{4 \cdot 5} = \frac{2}{5}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$ （$\theta$は三角形の内角なので、$\sin \theta > 0$）

したがって、$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = 2\sqrt{21}$

(2)

3点の座標が与えられているので、ベクトルの外積の絶対値の半分で面積を求めます。

$\vec{AB} = (2 - 0, 5 - (-1)) = (2, 6)$

$\vec{AC} = (-1 - 0, 1 - (-1)) = (-1, 2)$

面積$S = \frac{1}{2} | (2 \times 2) - (6 \times -1) | = \frac{1}{2} |4 + 6| = \frac{1}{2} |10| = 5$

3. 最終的な答え

(1) $S = 2\sqrt{21}$

(2) $S = 5$