数列 $\{a_n\}$ の初項が $2$ であり、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。数列 $\{S_n\}$ は、$S_{n+1} = \frac{1}{2}S_n + 3^{n-1} (n=1,2,3,\cdots)$ を満たす。このとき、以下の問いに答える。 (1) 上の式に $n-1$ を代入すると $a_n$ が得られる。また、上の式に $n-2$ を代入すると $a_3$ が得られる。 (2) $b_n = \frac{S_n}{3^n} (n=1,2,3,\cdots)$ によって数列 $\{b_n\}$ を定める。このとき、$b_1$ の値と、$b_n$ と $b_{n+1}$ の関係式を求める。さらに、その関係式を変形する。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項が $2$ であり、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。数列 $\{S_n\}$ は、$S_{n+1} = \frac{1}{2}S_n + 3^{n-1} (n=1,2,3,\cdots)$ を満たす。このとき、以下の問いに答える。

(1) 上の式に $n-1$ を代入すると $a_n$ が得られる。また、上の式に $n-2$ を代入すると $a_3$ が得られる。

(2) $b_n = \frac{S_n}{3^n} (n=1,2,3,\cdots)$ によって数列 $\{b_n\}$ を定める。このとき、$b_1$ の値と、$b_n$ と $b_{n+1}$ の関係式を求める。さらに、その関係式を変形する。

2. 解き方の手順

(1) $S_{n+1} = \frac{1}{2}S_n + 3^{n-1}$ に $n=1$ を代入すると、

$S_2 = \frac{1}{2}S_1 + 3^{1-1} = \frac{1}{2}a_1 + 1 = \frac{1}{2}(2) + 1 = 2$

$a_2 = S_2 - S_1 = 2 - 2 = 0$

$S_{n+1} = \frac{1}{2}S_n + 3^{n-1}$ に $n=2$ を代入すると、

$S_3 = \frac{1}{2}S_2 + 3^{2-1} = \frac{1}{2}(2) + 3 = 1 + 3 = 4$

$a_3 = S_3 - S_2 = 4 - 2 = 2$

(2) $b_n = \frac{S_n}{3^n}$ より、

$b_1 = \frac{S_1}{3^1} = \frac{a_1}{3} = \frac{2}{3}$

$S_{n+1} = \frac{1}{2}S_n + 3^{n-1}$ の両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$\frac{S_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{1}{2}\frac{S_n}{3^{n+1}} + \frac{3^{n-1}}{3^{n+1}}$

$b_{n+1} = \frac{1}{2}\frac{S_n}{3^n \cdot 3} + \frac{1}{3^2} = \frac{1}{6}\frac{S_n}{3^n} + \frac{1}{9}$

$b_{n+1} = \frac{1}{6}b_n + \frac{1}{9}$

$b_{n+1} - \alpha = \frac{1}{6}(b_n - \alpha)$ と変形できるとすると、

$b_{n+1} = \frac{1}{6}b_n + \frac{5}{6}\alpha$

$\frac{5}{6}\alpha = \frac{1}{9}$ より、

$\alpha = \frac{1}{9} \times \frac{6}{5} = \frac{2}{15}$

$b_{n+1} - \frac{2}{15} = \frac{1}{6}(b_n - \frac{2}{15})$

3. 最終的な答え

ア: 0

イウ: 2

エ: 2/3

オ: 2/3

カ: 6

キ: 1/9

ク: 2

ケ: 15