ベクトル $\vec{a} = (5, 3)$、$\vec{b} = (-3, 1)$ が与えられている。 (1) ベクトル $\vec{p} = (5, 9)$ を、適当な実数 $s, t$ を用いて $\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b}$ の形で表す。 (2) 等式 $2(\vec{a} - \vec{x}) = 3\vec{a} - 4\vec{b}$ を満たすベクトル $\vec{x}$ を成分表示する。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (5, 3)$、$\vec{b} = (-3, 1)$ が与えられている。

(1) ベクトル $\vec{p} = (5, 9)$ を、適当な実数 $s, t$ を用いて $\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b}$ の形で表す。

(2) 等式 $2(\vec{a} - \vec{x}) = 3\vec{a} - 4\vec{b}$ を満たすベクトル $\vec{x}$ を成分表示する。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b}$ を成分で表すと、

$(5, 9) = s(5, 3) + t(-3, 1)$

$(5, 9) = (5s - 3t, 3s + t)$

よって、以下の連立方程式が得られる。

$5s - 3t = 5$

$3s + t = 9$

2つ目の式から $t = 9 - 3s$ を得て、これを1つ目の式に代入する。

$5s - 3(9 - 3s) = 5$

$5s - 27 + 9s = 5$

$14s = 32$

$s = \frac{32}{14} = \frac{16}{7}$

$t = 9 - 3s = 9 - 3(\frac{16}{7}) = 9 - \frac{48}{7} = \frac{63 - 48}{7} = \frac{15}{7}$

したがって、$\vec{p} = \frac{16}{7}\vec{a} + \frac{15}{7}\vec{b}$

(2) 与えられた等式を変形する。

$2(\vec{a} - \vec{x}) = 3\vec{a} - 4\vec{b}$

$2\vec{a} - 2\vec{x} = 3\vec{a} - 4\vec{b}$

$2\vec{x} = 2\vec{a} - 3\vec{a} + 4\vec{b}$

$2\vec{x} = -\vec{a} + 4\vec{b}$

$\vec{x} = -\frac{1}{2}\vec{a} + 2\vec{b}$

成分で表すと、

$\vec{x} = -\frac{1}{2}(5, 3) + 2(-3, 1)$

$\vec{x} = (-\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}) + (-6, 2)$

$\vec{x} = (-\frac{5}{2} - 6, -\frac{3}{2} + 2)$

$\vec{x} = (-\frac{5+12}{2}, \frac{-3+4}{2})$

$\vec{x} = (-\frac{17}{2}, \frac{1}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{p} = \frac{16}{7}\vec{a} + \frac{15}{7}\vec{b}$

(2) $\vec{x} = (-\frac{17}{2}, \frac{1}{2})$