与えられた二次関数 $y = \frac{1}{3}x^2 + 2x + 11$ の頂点の座標 $(x, y)$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = \frac{1}{3}x^2 + 2x + 11$ の頂点の座標 $(x, y)$ を求める。

2. 解き方の手順

二次関数の頂点を求めるには、平方完成を行う。

まず、$x^2$ の係数 $\frac{1}{3}$ で $x$ の項までをくくり出す。

$$y = \frac{1}{3}(x^2 + 6x) + 11$$

次に、括弧の中を平方完成する。$x^2 + 6x$ を平方完成するには、$x$ の係数の半分である $3$ の二乗 $3^2 = 9$ を足して引く。

$$y = \frac{1}{3}(x^2 + 6x + 9 - 9) + 11$$

$$y = \frac{1}{3}((x + 3)^2 - 9) + 11$$

括弧を展開する。

$$y = \frac{1}{3}(x + 3)^2 - \frac{1}{3} \cdot 9 + 11$$

$$y = \frac{1}{3}(x + 3)^2 - 3 + 11$$

$$y = \frac{1}{3}(x + 3)^2 + 8$$

この式から、頂点の座標は $(-3, 8)$ であることがわかる。

3. 最終的な答え

頂点の座標は $(-3, 8)$ である。