与えられた複素数を極形式で表す問題です。極形式は $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ または $re^{i\theta}$ の形で表されます。ここで、$r$ は複素数の絶対値、$ \theta $ は偏角を表します。

1. 問題の内容

与えられた複素数を極形式で表す問題です。極形式は $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ または $re^{i\theta}$ の形で表されます。ここで、$r$ は複素数の絶対値、$\theta$ は偏角を表します。

2. 解き方の手順

各複素数について、絶対値 $r$ と偏角 $\theta$ を求めます。

(1) $1+i$:

$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\theta = \arctan(\frac{1}{1}) = \frac{\pi}{4}$

よって、$\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$

(2) $1-i$:

$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

$\theta = \arctan(\frac{-1}{1}) = -\frac{\pi}{4}$

よって、$\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

(3) $-2\sqrt{3}+2i$:

$r = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$

$\theta = \arctan(\frac{2}{-2\sqrt{3}}) = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{5\pi}{6}$

よって、$4(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$

(4) $1$:

$r = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1$

$\theta = 0$

よって、$1(\cos 0 + i\sin 0)$

(5) $-1$:

$r = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1$

$\theta = \pi$

よって、$1(\cos \pi + i\sin \pi)$

(6) $-i$:

$r = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = 1$

$\theta = \frac{3\pi}{2}$

よって、$1(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2})$

(7) $-\cos\alpha+i\sin\alpha$ $(0<\alpha<\pi)$:

$r = \sqrt{(-\cos\alpha)^2+(\sin\alpha)^2} = \sqrt{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha} = 1$

$-\cos\alpha = \cos(\pi-\alpha)$

$\sin\alpha = \sin(\pi-\alpha)$

$\theta = \pi - \alpha$

よって、$1(\cos(\pi - \alpha) + i\sin(\pi - \alpha))$

(8) $-\cos\alpha-i\sin\alpha$ $(0<\alpha<\pi)$:

$r = \sqrt{(-\cos\alpha)^2+(-\sin\alpha)^2} = \sqrt{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha} = 1$

$-\cos\alpha = \cos(\pi+\alpha)$

$-\sin\alpha = \sin(\pi+\alpha)$

$\theta = \pi + \alpha$

よって、$1(\cos(\pi + \alpha) + i\sin(\pi + \alpha))$

(9) $\sin\alpha-i\cos\alpha$ $(0\le\alpha<2\pi)$:

$r = \sqrt{(\sin\alpha)^2+(-\cos\alpha)^2} = \sqrt{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = 1$

$\sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)$

$-\cos\alpha = \sin(\alpha - \frac{\pi}{2})$

$\sin\alpha - i\cos\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) + i\sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) - i\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$

$\theta = -\frac{\pi}{2} + \alpha$ or $\theta = \alpha - \frac{\pi}{2}$

よって、$1(\cos(\alpha-\frac{\pi}{2}) + i\sin(\alpha-\frac{\pi}{2}))$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$

(2) $\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

(3) $4(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$

(4) $1(\cos 0 + i\sin 0)$

(5) $1(\cos \pi + i\sin \pi)$

(6) $1(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2})$

(7) $1(\cos(\pi - \alpha) + i\sin(\pi - \alpha))$

(8) $1(\cos(\pi + \alpha) + i\sin(\pi + \alpha))$

(9) $1(\cos(\alpha-\frac{\pi}{2}) + i\sin(\alpha-\frac{\pi}{2}))$