必要条件、十分条件、必要十分条件の問題です。 (1) 実数 $a$ について、$|a|=3$ は $a^2=9$ であるための何条件か。 (2) $x=y$ は $x+z=y+z$ のための何条件か。 (3) $(x-1)(x+2)=0$ は $x=1$ であるための何条件か。 (4) 四角形ABCDにおいて、四角形ABCDが平行四辺形であることは、$AB=CD$ であるための何条件か。

1. 問題の内容

必要条件、十分条件、必要十分条件の問題です。

(1) 実数 $a$ について、$|a|=3$ は $a^2=9$ であるための何条件か。

(2) $x=y$ は $x+z=y+z$ のための何条件か。

(3) $(x-1)(x+2)=0$ は $x=1$ であるための何条件か。

(4) 四角形ABCDにおいて、四角形ABCDが平行四辺形であることは、$AB=CD$ であるための何条件か。

2. 解き方の手順

(1)

$|a|=3$ のとき、$a = 3$ または $a = -3$。

$a^2 = 9$ のとき、$a = 3$ または $a = -3$。

$|a|=3 \Rightarrow a^2 = 9$ は真。

$a^2 = 9 \Rightarrow |a|=3$ は真。

したがって、必要十分条件である。

(2)

$x=y$ ならば、$x+z=y+z$ は常に成り立つ。

$x+z=y+z$ ならば、$x=y$ が成り立つ。

したがって、$x=y$ は $x+z=y+z$ であるための必要十分条件。

(3)

$(x-1)(x+2)=0$ のとき、$x=1$ または $x=-2$。

$x=1$ のとき、$(x-1)(x+2) = (1-1)(1+2) = 0$。

$(x-1)(x+2)=0 \Rightarrow x=1$ は偽。

$x=1 \Rightarrow (x-1)(x+2) = 0$ は真。

したがって、必要条件である。

(4)

四角形ABCDが平行四辺形ならば、$AB=CD$ は成り立つとは限らない。$AB=CD$ だけでは、平行四辺形である保証はない。しかし、向かい合う辺が平行であることは必要。

平行四辺形 $\Rightarrow AB=CD$ は偽。

$AB=CD \Rightarrow$ 平行四辺形は偽。

しかし、四角形ABCDにおいて、$AB=CD$ が向かい合う辺である場合、平行四辺形の条件の一つにはなりうる。

問題文の情報だけでは、条件を判断できない。

問題文が不十分。四角形が平行四辺形であるためには、向かい合う2組の辺がそれぞれ平行であるか、向かい合う2組の辺の長さがそれぞれ等しい、または対角線がそれぞれの中点で交わる必要がある。$AB=CD$ だけでは、平行四辺形であるための必要条件でも十分条件でもない。平行四辺形であるためには、他に$AD=BC$ または $AB//CD$ が必要。

問題文の前提が不足しているため、必要条件、十分条件、必要十分条件のいずれでもない。

3. 最終的な答え

(1) 必要十分条件

(2) 必要十分条件

(3) 必要条件

(4) 必要条件でも十分条件でもない（問題文の情報が不十分）