次の2つの連立方程式を、拡大係数行列と掃き出し法を用いて解く問題です。必要に応じて任意定数を用います。 (1) $ \begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 3z = 5 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} x - y = -5 \\ x + z = -1 \\ 3x + y + 4z = 1 \end{cases} $

## 問題の回答

1. 問題の内容

次の2つの連立方程式を、拡大係数行列と掃き出し法を用いて解く問題です。必要に応じて任意定数を用います。

(1)

$$

\begin{cases}

x + 2y - z = 3 \\

2x + 4y - 3z = 5

\end{cases}

$$

(2)

$$

\begin{cases}

x - y = -5 \\

x + z = -1 \\

3x + y + 4z = 1

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

**(1) の解き方**

1. 拡大係数行列を作成します。

$$

\left[\begin{array}{ccc|c}

1 & 2 & -1 & 3 \\

2 & 4 & -3 & 5

\end{array}\right]

$$

2. 掃き出し法を用いて行列を簡約化します。

2行目から1行目の2倍を引きます (R2 -> R2 - 2R1)。

$$

\left[\begin{array}{ccc|c}

1 & 2 & -1 & 3 \\

0 & 0 & -1 & -1

\end{array}\right]

$$

3. 2行目を-1倍します (R2 -> -R2)。

$$

\left[\begin{array}{ccc|c}

1 & 2 & -1 & 3 \\

0 & 0 & 1 & 1

\end{array}\right]

$$

4. 1行目に2行目を足します (R1 -> R1 + R2)。

$$

\left[\begin{array}{ccc|c}

1 & 2 & 0 & 4 \\

0 & 0 & 1 & 1

\end{array}\right]

$$

5. 解を求めます。

$y$ を任意定数 $t$ とすると、$x = 4 - 2t$、$z = 1$ となります。

**(2) の解き方**

1. 拡大係数行列を作成します。

$$

\left[\begin{array}{ccc|c}

1 & -1 & 0 & -5 \\

1 & 0 & 1 & -1 \\

3 & 1 & 4 & 1

\end{array}\right]

$$

2. 掃き出し法を用いて行列を簡約化します。

2行目から1行目を引きます (R2 -> R2 - R1)。

$$

\left[\begin{array}{ccc|c}

1 & -1 & 0 & -5 \\

0 & 1 & 1 & 4 \\

3 & 1 & 4 & 1

\end{array}\right]

$$

3. 3行目から1行目の3倍を引きます (R3 -> R3 - 3R1)。

$$

\left[\begin{array}{ccc|c}

1 & -1 & 0 & -5 \\

0 & 1 & 1 & 4 \\

0 & 4 & 4 & 16

\end{array}\right]

$$

4. 3行目から2行目の4倍を引きます (R3 -> R3 - 4R2)。

$$

\left[\begin{array}{ccc|c}

1 & -1 & 0 & -5 \\

0 & 1 & 1 & 4 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{array}\right]

$$

5. 1行目に2行目を足します (R1 -> R1 + R2)。

$$

\left[\begin{array}{ccc|c}

1 & 0 & 1 & -1 \\

0 & 1 & 1 & 4 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{array}\right]

$$

6. 解を求めます。

$z$ を任意定数 $t$ とすると、$x = -1 - t$、$y = 4 - t$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 4 - 2t$, $y = t$, $z = 1$ (tは任意定数)

(2) $x = -1 - t$, $y = 4 - t$, $z = t$ (tは任意定数)