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与えられた行列 $\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ の逆行列を基本変形を用いて求めよ。

代数学行列逆行列基本変形
2025/6/9

1. 問題の内容

与えられた行列
$\begin{pmatrix}
-1 & 1 & -1 \\
4 & -1 & 3 \\
-2 & 1 & -1
\end{pmatrix}$
の逆行列を基本変形を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた行列をAAとおく。単位行列IIを並べた拡大行列(A∣I)(A|I)を作り、基本変形を繰り返して(I∣A−1)(I|A^{-1})の形に変形する。
$(A|I) = \left(
\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
4 & -1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\
-2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)$
1行目を-1倍する。
$\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
4 & -1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\
-2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)$
2行目から1行目の4倍を引く。
3行目に1行目の2倍を足す。
$\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & -1 & 4 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 & -2 & 0 & 1
\end{array}
\right)$
2行目と3行目を入れ替える。
$\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1 & -2 & 0 & 1 \\
0 & 3 & -1 & 4 & 1 & 0
\end{array}
\right)$
2行目を-1倍する。
$\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 3 & -1 & 4 & 1 & 0
\end{array}
\right)$
1行目に2行目を足す。
3行目から2行目の3倍を引く。
$\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 2 & -2 & 1 & 3
\end{array}
\right)$
3行目を1/2倍する。
$\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2}
\end{array}
\right)$
2行目に3行目を足す。
$\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2}
\end{array}
\right)$
よって、A−1A^{-1}は
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
-1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2}
\end{pmatrix}

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
-1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2}
\end{pmatrix}$

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