(1) 微分方程式 $f'' = 6f' - 11f$ を初期条件 $f(0) = 5$ , $f'(0) = 3$ のもとで解く。 (2) 原始関数 $I = \int \frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} dx$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 微分方程式 $f'' = 6f' - 11f$ を初期条件 $f(0) = 5$ , $f'(0) = 3$ のもとで解く。

(2) 原始関数 $I = \int \frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} dx$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、微分方程式 $f'' = 6f' - 11f$ の特性方程式を求める。

$r^2 = 6r - 11$

$r^2 - 6r + 11 = 0$

$r = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 44}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{-8}}{2} = 3 \pm i\sqrt{2}$

したがって、微分方程式の一般解は

$f(x) = e^{3x}(c_1 \cos(\sqrt{2}x) + c_2 \sin(\sqrt{2}x))$

ここで、$c_1$ と $c_2$ は定数である。

初期条件 $f(0) = 5$ を適用すると、

$f(0) = e^{0}(c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0)) = c_1 = 5$

したがって、$c_1 = 5$ となる。

次に、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 3e^{3x}(c_1 \cos(\sqrt{2}x) + c_2 \sin(\sqrt{2}x)) + e^{3x}(-c_1\sqrt{2} \sin(\sqrt{2}x) + c_2\sqrt{2} \cos(\sqrt{2}x))$

初期条件 $f'(0) = 3$ を適用すると、

$f'(0) = 3e^{0}(c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0)) + e^{0}(-c_1\sqrt{2} \sin(0) + c_2\sqrt{2} \cos(0)) = 3c_1 + c_2\sqrt{2} = 3$

$3(5) + c_2\sqrt{2} = 3$

$15 + c_2\sqrt{2} = 3$

$c_2\sqrt{2} = -12$

$c_2 = \frac{-12}{\sqrt{2}} = -6\sqrt{2}$

したがって、$f(x) = e^{3x}(5 \cos(\sqrt{2}x) - 6\sqrt{2} \sin(\sqrt{2}x))$

(2)

被積分関数を部分分数分解する。

$x^3 - x^2 + 3x - 3 = x^2(x-1) + 3(x-1) = (x^2+3)(x-1)$

$\frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} = \frac{4x^4}{(x^2+3)(x-1)}$

長除法により、

$4x^4 = 4x(x^3 - x^2 + 3x - 3) + (4x^3 - 12x^2 + 12x)$

$4x^3 - 12x^2 + 12x = 4(x-1)(x^2+3) + 8x^2 - 24x + 12$

したがって

$\frac{4x^4}{(x^2+3)(x-1)} = 4x + 4 + \frac{8x^2-24x+12}{(x^2+3)(x-1)}$

さらに

$\frac{8x^2-24x+12}{(x^2+3)(x-1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+3}$

$8x^2 - 24x + 12 = A(x^2+3) + (Bx+C)(x-1)$

$8x^2 - 24x + 12 = Ax^2 + 3A + Bx^2 - Bx + Cx - C$

$8x^2 - 24x + 12 = (A+B)x^2 + (-B+C)x + (3A-C)$

したがって

$A+B = 8$

$-B+C = -24$

$3A - C = 12$

$2A = -12$, $A = -6$. $B = 14$. $C=-10$

したがって

$\frac{8x^2-24x+12}{(x^2+3)(x-1)} = \frac{-6}{x-1} + \frac{14x-10}{x^2+3}$

$\int \frac{4x^4}{x^3-x^2+3x-3}dx = \int \left(4x + 4 - \frac{6}{x-1} + \frac{14x-10}{x^2+3}\right) dx$

$= 2x^2 + 4x - 6\log|x-1| + 7\log(x^2+3) - \frac{10}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + C$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = e^{3x}(5 \cos(\sqrt{2}x) - 6\sqrt{2} \sin(\sqrt{2}x))$

(2) $I = 2x^2 + 4x - 6\log|x-1| + 7\log(x^2+3) - \frac{10}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + C$