PからQまでの最短経路について、以下の3つの場合について、経路の数を求めます。 (1) Rを通る場合 (2) X印の箇所を通らない場合 (3) Rを通り、X印の箇所を通らない場合

1. 問題の内容

PからQまでの最短経路について、以下の3つの場合について、経路の数を求めます。

(1) Rを通る場合

(2) X印の箇所を通らない場合

(3) Rを通り、X印の箇所を通らない場合

2. 解き方の手順

(1) Rを通る場合

PからRまでの最短経路の数と、RからQまでの最短経路の数をそれぞれ計算し、それらを掛け合わせます。

PからRまでの経路は、右に2回、下に2回進むので、$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

RからQまでの経路は、右に3回、下に2回進むので、$_5C_2 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

したがって、PからRを通ってQまでの経路は、$6 \times 10 = 60$通りです。

(2) X印の箇所を通らない場合

まず、PからQまでのすべての最短経路の数を計算します。右に5回、下に4回進むので、$_9C_4 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$通りです。

次に、PからX印の箇所を通ってQまでの最短経路の数を計算します。

PからX印の箇所までの経路は、右に3回、下に1回進むので、$_4C_1 = \frac{4!}{3!1!} = 4$通りです。

X印の箇所からQまでの経路は、右に2回、下に3回進むので、$_5C_2 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

したがって、PからX印の箇所を通ってQまでの経路は、$4 \times 10 = 40$通りです。

PからQまでX印の箇所を通らない経路は、すべての経路からX印の箇所を通る経路を引くことで求められます。 $126 - 40 = 86$通りです。

(3) Rを通り、X印の箇所を通らない場合

Rを通り、X印の箇所を通る経路を求めます。

PからRまでの経路は、$_4C_2 = 6$通りです。

RからX印の箇所までの経路は、右に1回、下に-1回ですが、RからX印の箇所までの最短経路は存在しません。

Rを通る経路の場合、X印を通る場合は、RからQまでの経路からX印を通る経路を引きます。

RからQまでの経路は$_5C_2 = 10$通りです。

RからXまでの経路は、右に1回、下に1回なので、$_2C_1 = 2$通りです。XからQまでの経路は、右に2回、下に3回なので、$_5C_2 = 10$通りです。Rを通ってXを通ってQに行く経路は$2 \times 10 = 20$通りです。

Rを通りXを通らない経路は$10 - 20$ではありません。RからXを通る事はできません。

PからRを通ってQまで60通りです。RからXのマスを通ってQまで20通りではないです。Xのマスを通るためには、Rから右下に進む必要がありますが、RからXに直接到達する事はできないため、この経路は0通りとなります。

したがって、Rを通ってXを通らない経路は、Rを通る経路と等しく、$60$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 60通り

(2) 86通り

(3) 60通り