全体集合 $U = \{x \mid x \text{ は10以下の自然数} \}$ が与えられ、その部分集合として $A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$, $C = \{2, 3, 6, 7\}$ が与えられています。 以下の集合を求めます。 (1) $A \cap B \cap C$ (2) $A \cup B \cup C$ (3) $A \cap B \cap \overline{C}$ (4) $A \cap \overline{B} \cap C$ (5) $\overline{A \cap B \cap C}$ (6) $(A \cup C) \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x \mid x \text{ は10以下の自然数} \}$ が与えられ、その部分集合として $A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$, $C = \{2, 3, 6, 7\}$ が与えられています。

以下の集合を求めます。

(1) $A \cap B \cap C$

(2) $A \cup B \cup C$

(3) $A \cap B \cap \overline{C}$

(4) $A \cap \overline{B} \cap C$

(5) $\overline{A \cap B \cap C}$

(6) $(A \cup C) \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B \cap C$

$A$, $B$, $C$ すべてに含まれる要素を探します。

$A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$

$B = \{3, 4, 5, 6\}$

$C = \{2, 3, 6, 7\}$

共通の要素は $3$ のみです。

よって $A \cap B \cap C = \{3\}$

(2) $A \cup B \cup C$

$A$, $B$, $C$ の少なくともいずれかに含まれる要素をすべて集めます。

$A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$

$B = \{3, 4, 5, 6\}$

$C = \{2, 3, 6, 7\}$

$A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

(3) $A \cap B \cap \overline{C}$

$\overline{C}$ は $U$ から $C$ の要素を除いたものです。 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ なので、$\overline{C} = \{1, 4, 5, 8, 9, 10\}$ です。

$A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$

$B = \{3, 4, 5, 6\}$

$\overline{C} = \{1, 4, 5, 8, 9, 10\}$

$A$, $B$, $\overline{C}$ すべてに含まれる要素を探します。

共通の要素は $4$ のみです。

よって $A \cap B \cap \overline{C} = \{4\}$

(4) $A \cap \overline{B} \cap C$

$\overline{B}$ は $U$ から $B$ の要素を除いたものです。 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ なので、$\overline{B} = \{1, 2, 7, 8, 9, 10\}$ です。

$A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$

$\overline{B} = \{1, 2, 7, 8, 9, 10\}$

$C = \{2, 3, 6, 7\}$

$A$, $\overline{B}$, $C$ すべてに含まれる要素を探します。

共通の要素は $2$ のみです。

よって $A \cap \overline{B} \cap C = \{2\}$

(5) $\overline{A \cap B \cap C}$

(1) より $A \cap B \cap C = \{3\}$ です。

$\overline{A \cap B \cap C}$ は $U$ から $\{3\}$ の要素を除いたものです。 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ なので、$\overline{A \cap B \cap C} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ です。

(6) $(A \cup C) \cap \overline{B}$

$\overline{B}$ は(4)より $\overline{B} = \{1, 2, 7, 8, 9, 10\}$ です。

$A = \{1, 2, 3, 4, 8\}$

$C = \{2, 3, 6, 7\}$

$A \cup C = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8\}$

$(A \cup C) \cap \overline{B}$ は $A \cup C$ と $\overline{B}$ の共通部分なので $\{1, 2, 7, 8\}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\{3\}$

(2) $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

(3) $\{4\}$

(4) $\{2\}$

(5) $\{1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(6) $\{1, 2, 7, 8\}$