次の絶対値を含む方程式と不等式を解く問題です。 (1) $|x+1| = 3x$ (2) $|x-3| \le -2x$ (3) $|2x-1| < 3x+2$

1. 問題の内容

次の絶対値を含む方程式と不等式を解く問題です。

(1) $|x+1| = 3x$

(2) $|x-3| \le -2x$

(3) $|2x-1| < 3x+2$

2. 解き方の手順

(1) 絶対値方程式 $|x+1| = 3x$ を解きます。

絶対値の中身の符号で場合分けします。

(i) $x+1 \ge 0$ つまり $x \ge -1$ のとき、

$x+1 = 3x$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

これは $x \ge -1$ を満たすので解です。

(ii) $x+1 < 0$ つまり $x < -1$ のとき、

$-(x+1) = 3x$

$-x-1 = 3x$

$4x = -1$

$x = -\frac{1}{4}$

これは $x < -1$ を満たさないので解ではありません。

したがって、$x = \frac{1}{2}$

(2) 絶対値不等式 $|x-3| \le -2x$ を解きます。

絶対値の中身の符号で場合分けします。

(i) $x-3 \ge 0$ つまり $x \ge 3$ のとき、

$x-3 \le -2x$

$3x \le 3$

$x \le 1$

これは $x \ge 3$ を満たさないので、この範囲に解はありません。

(ii) $x-3 < 0$ つまり $x < 3$ のとき、

$-(x-3) \le -2x$

$-x+3 \le -2x$

$x \le -3$

これは $x < 3$ を満たすので、解は$x \le -3$

さらに、$|x-3|$ が定義されるためには $-2x \ge 0$ である必要があるので、$x \le 0$ でなければなりません。

したがって、$x \le -3$ と $x \le 0$ の共通範囲を求めると、$x \le -3$となります。

(3) 絶対値不等式 $|2x-1| < 3x+2$ を解きます。

絶対値の中身の符号で場合分けします。

(i) $2x-1 \ge 0$ つまり $x \ge \frac{1}{2}$ のとき、

$2x-1 < 3x+2$

$-3 < x$

$x > -3$

これは $x \ge \frac{1}{2}$ を満たすので、解は $x \ge \frac{1}{2}$

(ii) $2x-1 < 0$ つまり $x < \frac{1}{2}$ のとき、

$-(2x-1) < 3x+2$

$-2x+1 < 3x+2$

$-1 < 5x$

$x > -\frac{1}{5}$

これは $x < \frac{1}{2}$ を満たすので、解は $-\frac{1}{5} < x < \frac{1}{2}$

したがって、(i) と (ii) を合わせると、$x > -\frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{2}$

(2) $x \le -3$

(3) $x > -\frac{1}{5}$