1. 問題の内容
与えられた4つの行列の階数（ランク）をそれぞれ求め、指定された形式で解答する問題です。
2. 解き方の手順
(1)
行列は
\begin{bmatrix}
3 & -2 & -1 \\
-1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 3
\end{bmatrix}
1行目に3行目を足すと(4, -1, 2)。2行目に3行目を足すと(0, 3, 6)。よって
\begin{bmatrix}
4 & -1 & 2 \\
0 & 3 & 6 \\
1 & 1 & 3
\end{bmatrix}
2行目は3で割って(0, 1, 2)。3行目に2行目を足すと
\begin{bmatrix}
4 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 5
\end{bmatrix}
1行目に2行目を足すと(4, 0, 4)。3行目から2行目の2倍を引くと(1, 0, 1)。よって
\begin{bmatrix}
4 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
1行目を4で割ると(1, 0, 1)。よって1行目と3行目は同じであるから、ランクは2。
(2)
行列は
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 4 \\
3 & 7 & 9 \\
1 & 1 & 2
\end{bmatrix}
1行目を2で割ると(1, 0, 2)。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
3 & 7 & 9 \\
1 & 1 & 2
\end{bmatrix}
2行目から1行目の3倍を引くと(0, 7, 3)。3行目から1行目を引くと(0, 1, 0)。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 7 & 3 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
2行目を7で割ると(0, 1, 3/7)。2行目と3行目を入れ替えると
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 3/7
\end{bmatrix}
3行目から2行目を引くと(0, 0, 3/7)。よってランクは3。
(3)
行列は
\begin{bmatrix}
4 & 5 & 1 & 5 \\
2 & 3 & 0 & 1 \\
1 & 1 & -1 & 0
\end{bmatrix}
1行目と3行目を入れ替えると
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & 0 \\
2 & 3 & 0 & 1 \\
4 & 5 & 1 & 5
\end{bmatrix}
2行目から1行目の2倍を引くと(0, 1, 2, 1)。3行目から1行目の4倍を引くと(0, 1, 5, 5)。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 5 & 5
\end{bmatrix}
3行目から2行目を引くと(0, 0, 3, 4)。よってランクは3。
(4)
行列は
\begin{bmatrix}
2 & 5 & 1 & -4 \\
1 & 2 & 1 & -3 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
-1 & -5 & 2 & -3
\end{bmatrix}
1行目と2行目を入れ替えると
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & -3 \\
2 & 5 & 1 & -4 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
-1 & -5 & 2 & -3
\end{bmatrix}
2行目から1行目の2倍を引くと(0, 1, -1, 2)。4行目に1行目を足すと(0, -3, 3, -6)。
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & -3 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & -3 & 3 & -6
\end{bmatrix}
4行目に2行目の3倍を足すと(0, 0, 0, 0)。3行目から2行目を引くと(0, 0, 0, 0)。
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & -3 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
ランクは2。
3. 最終的な答え
2-3-3-2