全体集合 $U$ を1桁の自然数とし、その部分集合 $A$, $B$ について、$\overline{A} \cap B = \{3, 9\}$, $A \cap \overline{B} = \{2, 4, 8\}$, $\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 5, 7\}$ が成り立つとき、集合 $A$ と $B$ を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を1桁の自然数とし、その部分集合 $A$, $B$ について、$\overline{A} \cap B = \{3, 9\}$, $A \cap \overline{B} = \{2, 4, 8\}$, $\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 5, 7\}$ が成り立つとき、集合 $A$ と $B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、全体集合 $U$ を書き出す。1桁の自然数なので、

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

次に、集合 $A$ と $B$ をそれぞれ求める。

$\overline{A} \cap B = \{3, 9\}$ は、$A$ に属さず $B$ に属する要素が $3$ と $9$ であることを意味する。

$A \cap \overline{B} = \{2, 4, 8\}$ は、$A$ に属し $B$ に属さない要素が $2$, $4$, $8$ であることを意味する。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 5, 7\}$ は、$A$ に属さず $B$ にも属さない要素が $1$, $5$, $7$ であることを意味する。

これらの情報から $A$ と $B$ を構成する。

$A$ に属する要素は $A \cap \overline{B} = \{2, 4, 8\}$ の要素と、$A \cap B$ の要素である。$A \cap B$ の要素はまだ分かっていない。

$B$ に属する要素は $\overline{A} \cap B = \{3, 9\}$ の要素と、$A \cap B$ の要素である。

$A \cup B$ を考えると、$U$ から $\overline{A} \cap \overline{B}$ を除いたものであるから、$A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9\}$ となる。

$A$ と $B$ の要素を書き出してみる。

$A = \{2, 4, 8\} \cup (A \cap B)$

$B = \{3, 9\} \cup (A \cap B)$

$A \cup B = \{2, 3, 4, 8, 9\} \cup (A \cap B)$

$A \cup B$ にない $U$ の要素は $1, 5, 6, 7$ なので、$A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9\}$ にない $6$ がある。

$A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9\}$ になるためには、

$A \cap B$ に $6$ が含まれている必要がある。

従って、$A \cap B = \{6\}$ となり、

$A = \{2, 4, 6, 8\}$

$B = \{3, 6, 9\}$

となる。

$A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9\}$ となるので矛盾しない。

3. 最終的な答え

$A = \{2, 4, 6, 8\}$

$B = \{3, 6, 9\}$