不等式 $|2x| + \sqrt{x^2 - 6x + 9} < 9$ を満たす整数 $x$ の個数を求める。

1. 問題の内容

不等式 $|2x| + \sqrt{x^2 - 6x + 9} < 9$ を満たす整数 $x$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2 - 6x + 9}$ を簡単にします。

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ なので、$\sqrt{x^2 - 6x + 9} = \sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$ です。

よって、不等式は $|2x| + |x-3| < 9$ となります。

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

(i) $x < 0$ のとき、

$|2x| = -2x$, $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ なので、

$-2x + 3 - x < 9$

$-3x < 6$

$x > -2$

したがって、$-2 < x < 0$。この範囲の整数は $x = -1$。

(ii) $0 \leq x < 3$ のとき、

$|2x| = 2x$, $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ なので、

$2x + 3 - x < 9$

$x < 6$

したがって、$0 \leq x < 3$。この範囲の整数は $x = 0, 1, 2$。

(iii) $x \geq 3$ のとき、

$|2x| = 2x$, $|x-3| = x-3$ なので、

$2x + x - 3 < 9$

$3x < 12$

$x < 4$

したがって、$3 \leq x < 4$。この範囲の整数は $x = 3$。

以上より、不等式を満たす整数 $x$ は $x = -1, 0, 1, 2, 3$ です。

3. 最終的な答え

不等式を満たす整数 $x$ の個数は5個です。