実数全体を全体集合とし、集合 $A = \{x | -2 \le x < 6\}$ と $B = \{x | -3 \le x < 5\}$ が与えられています。 (1) 次の集合を求めます。 (ア) $A \cap B$ (イ) $A \cup B$ (ウ) $\overline{B}$ (エ) $A \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

実数全体を全体集合とし、集合 $A = \{x | -2 \le x < 6\}$ と $B = \{x | -3 \le x < 5\}$ が与えられています。

(1) 次の集合を求めます。

(ア) $A \cap B$

(イ) $A \cup B$

(ウ) $\overline{B}$

(エ) $A \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

(ア) $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の両方に含まれる $x$ の範囲です。

$A$ は $-2 \le x < 6$、 $B$ は $-3 \le x < 5$ なので、$A \cap B$ は $-2 \le x < 5$ となります。

(イ) $A \cup B$ は、$A$ または $B$ に含まれる $x$ の範囲です。

$A$ は $-2 \le x < 6$、 $B$ は $-3 \le x < 5$ なので、$A \cup B$ は $-3 \le x < 6$ となります。

(ウ) $\overline{B}$ は、$B$ に含まれない $x$ の範囲です。

$B$ は $-3 \le x < 5$ なので、$\overline{B}$ は $x < -3$ または $x \ge 5$ となります。

(エ) $A \cup \overline{B}$ は、$A$ または $\overline{B}$ に含まれる $x$ の範囲です。

$A$ は $-2 \le x < 6$、$\overline{B}$ は $x < -3$ または $x \ge 5$ なので、$A \cup \overline{B}$ は $x < -3$ または $x \ge -2$ となります。実数全体を全体集合とすると、答えは「$x < -3$または$x \geq -2$」となります。あるいは、実数全体から区間 $[-3,-2)$ を取り除いたものとも言えます。

3. 最終的な答え

(ア) $A \cap B = \{x | -2 \le x < 5\}$

(イ) $A \cup B = \{x | -3 \le x < 6\}$

(ウ) $\overline{B} = \{x | x < -3 \text{ または } x \ge 5\}$

(エ) $A \cup \overline{B} = \{x | x < -3 \text{ または } x \ge -2\}$